Аннотация. Фильм “Интерстеллар” основан на реальных физических расчётах. Одним из ключевых требований фильма является наличие планеты, вращающейся вокруг сверхмассивной чёрной дыры так, что один час на планете соответствует семи годам на Земле. Такое экстремальное замедление времени возможно только если планета вращается очень близко к горизонту чёрной дыры. Для не-вращающейся (Шварцшильдовской) чёрной дыры, внутренняя стабильная круговая орбита (ИСКО) находится на расстоянии в три раза больше радиуса Шварцшильда; связанная орбита между ИСКО и горизонтом событий невозможна. Удивительно, но общая теория относительности позволяет существовать таким орбитам, если чёрная дыра вращается быстро. В этой работе мы представляем вычисления, которые сами по себе не тривиальны и интересны, но что более важно, они могут иметь полезные астрофизические последствия. pacs 04.80.Nn, 95.55.Ym, 07.60.Ly
I Введение
“Интерстеллар” [13] – научно-фантастический фильм (2014) режиссёра Кристофера Нолана. Лауреат Нобелевской премии Кип Торн был исполнительным продюсером и научным консультантом фильма. Хотя это научно-фантастический фильм, он основан на реальных физических расчётах [13]. “Интерстеллар” рассказывает о Джозефе Купере, бывшем пилоте НАСА, ставшем фермером, который набран для миссии последней надежды по спасению человечества от умирающей Земли. Вместе с небольшой командой, доктором Амилией Бранд, доктором Ромилли, доктором Дойлом и роботами ТАРС и КЕЙС, он путешествует через червоточину возле Сатурна, чтобы исследовать потенциально обитаемые миры в другой галактике.
Фильм представляет планету – планету Миллера, океанический мир, вращающийся чрезвычайно близко к сверхмассивной чёрной дыре Гаргантюа так, что один час на планете соответствует семи годам на Земле – огромный коэффициент! Кратковременный визит команды на планету приводит к разрушительным временным последствиям, поскольку на Земле проходят десятилетия. Большой коэффициент замедления времени возникает из-за того, что орбита планеты находится очень близко к горизонту, что замедляет течение времени относительно далёких наблюдателей, как объясняет теория относительности Эйнштейна.
На первый взгляд это кажется невозможным, потому что хорошо известно, что для не-вращающейся чёрной дыры ИСКО находится в три раза дальше от радиуса Шварцшильда, что совсем не близко к горизонту и, следовательно, приведёт к очень малому замедлению времени. Но, что удивительно, расчёты общей теории относительности показывают, что орбиты близко к горизонту могут существовать, если чёрная дыра вращается достаточно быстро. Для требуемого замедления времени чёрная дыра должна вращаться очень быстро – чрезвычайно близко к экстремальному Керру. Сама Гаргантюа изображена как быстро вращающаяся (Керровская) чёрная дыра, чей вращение позволяет стабильные орбиты необычно близко к её горизонту событий. Изображение многих физических эффектов в фильме основано на реальных физических расчётах, что делает Гаргантю одной из самых научно точных чёрных дыр, визуализированных в кино.
Целью этой статьи является воспроизведение расчётов Кипа Торна в деталях, которые, насколько нам известно, не были представлены в литературе. Эти расчёты сами по себе не тривиальны и поучительны, но здесь мы утверждаем, что они могут иметь важные последствия для астрофизики. Мы сначала показываем, что существуют стабильные круговые орбиты, касающиеся горизонта быстро вращающейся чёрной дыры, которые могут привести к большим коэффициентам замедления времени. Здесь мы представляем подробный расчёт с использованием рядов Тейлора. Мы сравниваем результаты, полученные с помощью ряда Тейлора, с численно полученными результатами из точного уравнения. Мы далее указываем, как эти расчёты могут привести к интересной астрофизике.
II Замедление времени
II.1 Предварительные замечания
Мы начинаем с основных уравнений, описывающих времеподобные геодезические в метрике Керра. Они обычно записываются в координатах Бойера-Линдквиста, которые удобны для наших расчётов. При установке , метрика задаётся уравнением (Дхурандхар и Митра [7]):
где функции и определяются следующим образом:
где – масса в единицах длины, а – угловой момент чёрной дыры на единицу массы чёрной дыры и имеет размерность длины. Чтобы получить фактические единицы углового момента, необходимо умножить на фактор , и , где – масса чёрной дыры. Удобно использовать безразмерные единицы для наших расчётов. Следовательно, мы определяем и . Мы сохраняем наши вычисления базовыми; нашей целью является вычисление времеподобных круговых орбит, в частности ИСКО, тестовых частиц (планет) в экваториальной плоскости . Стационарность и аксиальная симметрия метрики Керра дают два первых интеграла уравнений геодезических (Мизнер и др. [12], Чандрасекар [5]):
где точка над переменной обозначает производную по безразмерному собственному времени частицы. Здесь – безразмерный угловой момент частицы на единицу массы частицы и чёрной дыры, в бесконечности; в то время как – энергия в бесконечности тестовой частицы на единицу массы. Поскольку орбиты ограничены экваториальной плоскостью, константа Картера равна нулю. Переставляя эти уравнения для и , получаем:
Безразмерная версия – это (мы обозначаем её той же буквой без путаницы). Требуемое замедление времени задаётся величиной .
II.2 Уравнения для ИСКО
Из уравнения метрики (1) и первых интегралов (4) и (5) получаем уравнение для , или эквивалентно, в экваториальной плоскости. Следуя Чандрасекару [5], мы устанавливаем и получаем уравнение для :
Чтобы двигаться к нашей цели, мы устанавливаем . Это условие только определяет точки поворота орбиты. Далее, записав [5] , уравнение (6) принимает вид:
Чтобы получить круговые орбиты, нам нужно, чтобы оба были равны нулю. Это эквивалентно дифференцированию уравнения (7) по и установке его равным нулю. Это приводит к:
Для получения ИСКО нам нужно дальнейшее дифференцирование уравнения (8) по . Это даёт:
Из уравнений (7), (8) и (9) получаем следующее:
Мы можем сразу же решить для и для ИСКО (если оно существует) при , и таким образом получить:
Мы можем убедиться, что эти уравнения согласуются с стандартными результатами для случая Шварцшильда . Тогда уравнение (9) даёт , что является просто ; подтверждая результат Шварцшильда. Также соответствующее из уравнения (11) тогда ; что снова является стандартным результатом. Однако нам нужны орбиты близко к горизонту, чтобы получить большие коэффициенты замедления времени. Это действительно возможно, как покажут наши расчёты. Увеличение приближает ИСКО к горизонту по сравнению со случаем Шварцшильда. Из уравнения (11) мы можем исключить и из уравнения (9). Это даёт уравнение четвертой степени относительно , а именно:
Мы рассматриваем экстремальный случай , в котором мы ожидаем ИСКО близко к горизонту событий. Легко проверить, что когда , является решением уравнения (12). Но также является горизонтом для экстремального Керра. Это будет означать бесконечное из уравнения (4), потому что . Поэтому имеет смысл выполнить ряд Тейлора вблизи горизонта событий и выбрать . Следовательно, мы записываем и , где . Мы теперь используем уравнение (9), чтобы получить уравнение в , где мы подставляем из уравнения (11):
В терминах и мы имеем уравнение:
Мы решаем это уравнение приближённо для малых значений и . Для этого нам нужно выполнить ряд Тейлора как по , так и по . Оказывается, что для ; нам нужно разложить только до первого порядка по ; в то время как для нам нужно сохранить члены до – это ведущий член – более низкие степени членов сокращаются. Окончательный результат:
Последний шаг – вычислить в терминах . Для этого мы снова записываем уравнение (4) в удобной форме:
и записываем и в терминах . Нам нужны эти величины только до первого порядка по . Мы легко получаем из уравнения (11), и . Также до необходимого порядка . Подставляя эти выражения в уравнение (16), получаем:
В “Интерстелларе” один час на планете Миллера соответствует примерно семи годам на Земле из-за замедления времени. Это примерно коэффициент . Используя это значение в уравнении (17), получаем . Таким образом, чёрная дыра Гаргантюа вращается очень быстро; чрезвычайно близко к экстремальному Керру. Мы показываем на рисунке 1 два графика. График сверху показывает в зависимости от , а положение ИСКО можно определить из графика в зависимости от в нижней части. Точки, соответствующие “Интерстеллару”, отмечены жирными точками на обоих графиках.
III За пределами “Интерстеллара”
Расчёты в разделе II имеют последствия для интересной астрофизики. Одним из вопросов, который может возникнуть, является то, будет ли планета Миллера разорвана приливными силами чёрной дыры. Масса чёрной дыры Гаргантюа принята очень большой . Это означает, что прямо за горизонтом гравитационное поле довольно слабое, а приливные силы не очень сильные. В работе Луминэ [10] утверждается, что планета остаётся на грани целостности – предел Роша того же порядка, что и размер горизонта чёрной дыры км.
III.1 Точность приближения ряда Тейлора
Нам необходимо исследовать, насколько точно приближение, которое мы сделали в уравнении (15), является справедливым. Для этого мы можем решить уравнение (12) численно. Результаты показаны в верхней панели рисунка 2. Из рисунка видно, что точная ИСКО находится дальше от горизонта, чем то, что подразумевает приближение ряда Тейлора. Когда , разница в радиусах ИСКО, вычисленных двумя методами, меньше 1%.
III.2 Красное смещение фотонов, испускаемых аккреционными дисками
Одним из убедительных астрофизических применений является аккреционные диски вокруг чёрных дыр. В “Интерстелларе” чёрная дыра чрезвычайно близка к экстремальному Керру () с . Но в обычных астрофизических сценариях . С этой целью в нижней панели рисунка 2 мы строим в зависимости от для всего диапазона , от Шварцшильда до экстремального Керра. Для справки мы также строим горизонт, чтобы показать, как орбита ИСКО приближается к горизонту по мере увеличения от нуля до единицы. Это имеет важные последствия для красного смещения, потому что красное смещение увеличивается, когда орбитирующий материал аккреционного диска приближается к горизонту. Спектральные линии, например, линии Fe (железо) , будут демонстрировать расширение, потому что орбиты находятся на разных расстояниях от горизонта. Для быстро вращающейся чёрной дыры это расширение будет довольно большим, как показывают наши результаты. Расширение спектральных линий можно использовать для оценки вращения чёрной дыры. Уравнения для нулевых геодезических аналогичны уравнениям (4) и (5), где теперь собственное время заменяется аффинным параметром , и есть только один параметр, , параметр воздействия, который характеризует нулевые геодезические, вместо двух параметров и , которые характеризуют времеподобные геодезические. Релевантные первые интегралы:
Мы обозначаем волновой вектор как , где – нулевой вектор. Мы рассматриваем геодезические в экваториальной плоскости, поэтому и поскольку мы будем рассматривать почти экстремальные чёрные дыры Керра, мы устанавливаем в уравнении. Тогда радиальная компонента удовлетворяет:
Для того чтобы движение было возможно, правая часть этого уравнения должна быть неотрицательной. Поскольку мы хотим, чтобы фотон, испущенный из аккреционного диска, был наблюдаем далёким наблюдателем; мы должны выбрать в уравнении (19). Или записав правую часть этого уравнения в степенях , оно должно удовлетворять:
Релевантный корень этого уравнения, когда левая часть уравнения (20) равна нулю, равен . Поскольку мы выберем в качестве радиуса ИСКО, . Чтобы уравнение (20) было удовлетворено, мы должны выбрать . Красное смещение вычисляется по формуле:
где индексы “e” и “o” обозначают величины при испускании и наблюдении. Поскольку мы будем считать наблюдателя бесконечно удалённым и неподвижным, для наблюдателя имеем только , в то время как пространственные компоненты . Также в бесконечности и . Таким образом, знаменатель в уравнении (21) равен единице; необходимо вычислить только числитель, где величины должны быть вычислены в ИСКО. Поскольку имеет только и ненулевые, требуются только эти компоненты . Следовательно:
Как видно из приведённого выше уравнения, для ИСКО выражение для красного смещения значительно упрощается. Из астрофизических соображений (Луминэ [10]). При , мы можем вычислить и в ИСКО из предыдущих уравнений. Предположим, мы выбираем , тогда мы должны выбрать . Предположим, мы выбираем , тогда , а если мы выбираем , фактор красного смещения . Причина этого – эффект Доплера; для , фотон испускается практически в направлении скорости частицы, в то время как при , он испускается радиально и гравитационное красное смещение доминирует. Ниже, на рисунке 3, мы построили красное смещение в зависимости от для двух значений вращения чёрной дыры и . Из рисунков видно, что когда близко к , наблюдается чистое синее смещение – эффект Доплера доминирует над гравитационным.
IV Заключительные замечания
В этой работе мы представили явные расчёты, касающиеся коэффициента замедления времени, который очень велик, как требуется в “Интерстелларе”. Такие большие коэффициенты замедления времени возможны только если орбиты частиц (планет) могут существовать близко к горизонту событий чёрной дыры. Показано, что такие орбиты действительно существуют, если чёрная дыра вращается близко к экстремальному Керру. В частности, для коэффициента замедления времени безразмерное вращение чёрной дыры равно , и ИСКО касается горизонта событий. Мы также сравнили приближение ряда Тейлора с численно полученными результатами для радиуса ИСКО. Далее мы выполнили расчёты для красного смещения фотонов, испускаемых частицей на ИСКО. Более того, мы утверждаем, что эти расчёты имеют отношение к астрофизике, такой как аккреционные диски и гравитационные волны, испускаемые компактными бинарами, вращающимися вблизи сверхмассивных чёрных дыр. Мы подробнее остановимся на этих моментах ниже.
Хотя эта работа воспроизводит результаты, полученные в контексте фильма “Интерстеллар”, её применение может быть полезным в более широких областях астрофизики, особенно тех, которые связаны с явлениями вблизи чёрных дыр. Например, излучение, испускаемое из аккреционного диска вокруг чёрной дыры, может значительно краснеть вблизи горизонта событий. Профиль наблюдаемых спектральных линий, а именно линий железа, становится свёрткой распределения интенсивности и красного смещения (гравитационного и эффекта Доплера) по аккреционному диску. Тщательные, но очень сложные, расчёты таких профилей линий, хотя и численные, были представлены в литературе [11, 4, 9]. Однако расчёты, представленные в нашей работе, могут предоставить более простой способ получения физических прозрений, даже если они не очень точны.
Другим таким применением может быть контекст испускания гравитационных волн компактными бинарами (Крейтон и Андерсон [6]). Весьма возможно, что вокруг сверхмассивных чёрных дыр в центрах галактик существует более высокая концентрация намного более лёгких вращающихся или сливающихся бинаров (Ян и др. [14]). Сигнал гравитационных волн от этих бинаров также может сильно краснеть, когда они находятся вблизи горизонта событий, что может сдвинуть их частоты в более низкую частотную полосу; например, от десятков Гц для бинара с массой звезды, наблюдаемого в полосе LIGO [1], до децигерцовой полосы; или от децигерцовой полосы для бинара с промежуточной массой чёрной дыры до мегагерцовой полосы, наблюдаемой LISA [2]. Также различные режимы, такие как w, p и f режимы [8, 3], испускаемые нейтронными звёздами в килогерцовой полосе, будут краснеть в чувствительную полосу в диапазоне нескольких сотен Гц современных наземных детекторов гравитационных волн. Масштаб времени, на котором типичный бинар чёрных дыр сливается в наземных детекторах, составляет порядка нескольких секунд, в то время как наши расчёты здесь показывают, что для , периоды составляют несколько сотен секунд, так что бинар сливается почти в одной и той же фазе орбиты, что относительно упрощает расчёт формы сигнала гравитационных волн. Если, с другой стороны, масштаб времени слияния бинара того же порядка, что и период ИСКО, то форма сигнала гравитационных волн будет изменена сложным образом за счёт зависящих от времени эффектов Доплера и изменяющейся поляризации. Хотя получение точной формы сигнала в таких ситуациях может быть очень сложным; на основе геометрии и эволюции траектории центра масс бинара вокруг сверхмассивной чёрной дыры, наши расчёты, таким образом, предоставляют относительно простой способ предсказать, что можно ожидать в таких ситуациях, и стоит ли проводить полноценное исследование.
V Благодарности
Эта работа основана частично на диссертации магистра Харлин Дхингра, представленной в колледж Святого Ксавьера, Мумбаи, Индия. SVD благодарит Саджала Мукерджи за разъяснение вопроса. Авторы благодарят Шубхаджита Даса и Саяна Кара за ценные комментарии, которые помогли в повторном анализе анализа ИСКО.
VI Библиография
Ссылки – [1] (2015) Advanced ligo. Class. Quantum Grav. 32, pp. 074001. External Links: Document Cited by: §IV. – [2] (2017) Laser interferometer space antenna. ArXiv e-prints. External Links: 1702.00786 Cited by: §IV. – [3] (1998) Towards gravitational wave asteroseismology. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 299 (4), pp. 1059–1068. External Links: ISSN 0035-8711, Document, Link, https://academic.oup.com/mnras/article-pdf/299/4/1059/3869494/299-4-1059.pdf Cited by: §IV. – [4] (1998) The inner edge of the accretion disk around a supermassive black hole. Nature 391 (6665), pp. 54–56. External Links: Document, Link Cited by: §IV. – [5] (1983) The mathematical theory of black holes. Oxford University Press, Oxford. External Links: ISBN 9780198512912, Link Cited by: §II.1, §II.2, §II.2. – [6] (2011) Gravitational-wave physics and astronomy: an introduction to theory, experiment and data analysis. Wiley–VCH, Weinheim. External Links: ISBN 9783527411931, Link Cited by: §IV. – [7] (2022) General relativity and gravitational waves: essentials of theory and practice. UNITEXT for Physics, Springer International Publishing, Cham. External Links: ISBN 978-3-030-92334-1, Link, Document Cited by: §II.1. – [8] (1992) W-modes: a new family of normal modes of pulsating relativistic stars. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 255 (1), pp. 119–128. External Links: ISSN 0035-8711, Document, Link, https://academic.oup.com/mnras/article-pdf/255/1/119/18523446/mnras255-0119.pdf Cited by: §IV. – [9] (1991) Line profiles from a disk around a rotating black hole. The Astrophysical Journal 376, pp. 90–94. External Links: Document, Link Cited by: §IV. – [10] (2015) The black hole and the visualization of gravity in the film interstellar. Annalen der Physik 527 (1-2), pp. 5. External Links: Document Cited by: §III.2, §III. – [11] (2000) Effects of kerr space-time on spectral features from x-ray illuminated accretion discs. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 312 (4), pp. 817–826. External Links: Document, Link Cited by: §IV. – [12] (1973) Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco. External Links: ISBN 9780716703440 Cited by: §II.1. – [13] (2014) The science of interstellar. W. W. Norton & Company, New York. External Links: ISBN 9780393351378, Link Cited by: §I. – [14] (2019) Hierarchical black hole mergers in active galactic nuclei. Phys. Rev. Lett. 123, pp. 181101. External Links: Document, Link Cited by: §IV.