Механика орбит — это применение баллистики и небесной механики к ракетам, спутникам и другим космическим аппаратам. Движение этих объектов обычно рассчитывается по законам движения и всемирного тяготения, открытых Исааком Ньютоном. Астродинамика является ключевой дисциплиной в проектировании и управлении космическими миссиями. Небесная механика более широко рассматривает динамику орбит систем под влиянием гравитации, включая как космические аппараты, так и естественные астрономические объекты, такие как звездные системы, планеты, спутники и кометы. Механика орбит сосредоточена на траекториях космических аппаратов, включая орбитальные маневры, изменения орбитальной плоскости и межпланетные переходы, и используется планировщиками миссий для прогнозирования результатов импульсных маневров. Общая теория относительности — это более точная теория, чем законы Ньютона, для расчета орбит, и иногда ее необходимо использовать для большей точности или в ситуациях с высокой гравитацией (например, орбиты вблизи Солнца).
До появления космических полетов в XX веке между механикой орбит и небесной механикой практически не было различий. В эпоху Спутника эта область называлась космической динамикой. Основные методы, такие как те, которые используются для решения задачи Кеплера (определение положения в зависимости от времени), одинаковы в обеих областях. Кроме того, история этих областей практически полностью совпадает. Иоганн Кеплер был первым, кто успешно смоделировал орбиты планет с высокой точностью, опубликовав свои законы в 1609 году. Исаак Ньютон опубликовал более общие законы небесного движения в первом издании “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica” (1687), которые дали метод определения орбиты тела, движущегося по параболической траектории из трех наблюдений. Этот метод использовал Эдмунд Галлей для определения орбит различных комет, включая ту, которая носит его имя. Метод последовательного приближения Ньютона был формализован в аналитический метод Леонардом Эйлером в 1744 году, чья работа в свою очередь была обобщена на эллиптические и гиперболические орбиты Иоганном Ламбертом в 1761-1777 годах. Другим важным этапом в определении орбит стало участие Карла Фридриха Гаусса в “восстановлении” карликовой планеты Цереры в 1801 году. Метод Гаусса позволял использовать всего три наблюдения (в виде пар прямого восхождения и склонения), чтобы найти шесть элементов орбиты, полностью описывающих орбиту. Теория определения орбит с тех пор была развита до такой степени, что сегодня она применяется в приемниках GPS, а также в отслеживании и каталогизации новых открытых малых планет. Современное определение и прогнозирование орбит используются для эксплуатации всех типов спутников и космических зондов, поскольку необходимо знать их будущие положения с высокой точностью. Астродинамика была разработана астрономом Сэмюэлем Херриком, начиная с 1930-х годов. Он консультировался с ученым-ракетчиком Робертом Годдардом и был поощрен продолжить свою работу над техниками космической навигации, поскольку Годдард считал, что они будут нужны в будущем. Численные методы астродинамики были объединены с новыми мощными компьютерами в 1960-х годах, и люди были готовы отправиться на Луну и вернуться.
Правила для приблизительных расчетов
Ниже приведены правила для ситуаций, приближающихся к классической механике при стандартных предположениях астродинамики, изложенных ниже. Рассматривается конкретный пример спутника, обращающегося вокруг планеты, но эти правила могут применяться и к другим ситуациям, таким как орбиты малых тел вокруг звезды, например Солнца.
– Законы Кеплера о движении планет:
– Орбиты эллиптические, с более массивным телом в одном из фокусов эллипса. Специальным случаем является круговая орбита (круг — это особый случай эллипса) с планетой в центре.
– Линия, проведенная от планеты к спутнику, за одинаковые промежутки времени описывает равные площади, независимо от того, какая часть орбиты измеряется.
– Квадрат периода обращения спутника пропорционален кубу его среднего расстояния от планеты.
– Без приложения силы (например, включения ракетного двигателя) период и форма орбиты спутника не изменятся.
– Спутник на низкой орбите (или в нижней части эллиптической орбиты) движется быстрее относительно поверхности планеты, чем спутник на более высокой орбите (или в верхней части эллиптической орбиты), из-за более сильного гравитационного притяжения вблизи планеты.
– Если тяга применяется только в одной точке орбиты спутника, он вернется в ту же точку на каждой последующей орбите, хотя остальная часть его траектории изменится. Следовательно, невозможно перейти из одной круговой орбиты в другую с помощью только одного кратковременного применения тяги.
– Из круговой орбиты тяга, примененная в направлении, противоположном движению спутника, изменяет орбиту на эллиптическую; спутник опустится и достигнет самой низкой орбитальной точки (перигея) в 180 градусах от точки включения двигателя; затем он поднимется обратно. Период результирующей орбиты будет меньше, чем у исходной круговой орбиты. Тяга, примененная в направлении движения спутника, создает эллиптическую орбиту с самой высокой точкой (апогеем) в 180 градусах от точки включения двигателя. Период результирующей орбиты будет больше, чем у исходной круговой орбиты.
Последствия правил механики орбит иногда противоречивы. Например, если два космических аппарата находятся на одной круговой орбите и хотят состыковаться, ведущий аппарат не может просто включить двигатели, чтобы ускориться к ведущему аппарату. Это изменит форму его орбиты, заставив его набрать высоту и замедлиться относительно ведущего аппарата, тем самым удаляясь от цели. Космическая стыковка перед причаливанием обычно требует нескольких точно рассчитанных включений двигателей за несколько орбитальных периодов, что занимает часы или даже дни.
В той мере, в которой стандартные предположения астродинамики не выполняются, фактические траектории будут отличаться от рассчитанных. Например, простое атмосферное трение — это еще один фактор, усложняющий орбиты объектов на низкой околоземной орбите. Эти правила для приблизительных расчетов явно неточны при описании двух или более тел схожей массы, таких как двойная звездная система (см. задачу n тел). Небесная механика использует более общие правила, применимые к более широкому кругу ситуаций. Законы Кеплера о движении планет, которые можно математически вывести из законов Ньютона, строго выполняются только при описании движения двух гравитирующих тел в отсутствие негравитационных сил; они также описывают параболические и гиперболические траектории. Вблизи крупных объектов, таких как звезды, различия между классической механикой и общей теорией относительности также становятся важными.
Законы астродинамики
Основными законами астродинамики являются закон всемирного тяготения Ньютона и законы движения Ньютона, а основным математическим инструментом является дифференциальное исчисление. В рамках ньютоновской механики законы, управляющие орбитами и траекториями, в принципе симметричны относительно времени. Стандартные предположения в астродинамике включают отсутствие вмешательства внешних тел, пренебрежимо малую массу одного из тел и пренебрежимо малые другие силы (такие как солнечный ветер, атмосферное трение и т. д.). Более точные расчеты можно выполнить без этих упрощающих предположений, но они более сложны. Повышенная точность часто не дает достаточного преимущества в расчетах, чтобы быть оправданной. Законы Кеплера о движении планет можно вывести из законов Ньютона, если предположить, что орбитирующее тело подвергается только гравитационному воздействию центрального притягивающего тела. Когда присутствует тяга двигателя или пропульсивная сила, законы Ньютона все еще применяются, но законы Кеплера становятся недействительными. Когда тяга прекращается, результирующая орбита будет другой, но снова будет описываться законами Кеплера, изложенными выше. Три закона следующие:
– Орбита каждой планеты представляет собой эллипс с Солнцем в одном из фокусов.
– Линия, соединяющая планету и Солнце, за равные промежутки времени описывает равные площади.
– Квадраты периодов обращения планет прямо пропорциональны кубам большой полуоси их орбит.
Скорость убегания
Формула скорости убегания выводится следующим образом. Удельная энергия (энергия на единицу массы) любого космического аппарата состоит из двух компонентов: удельной потенциальной энергии и удельной кинетической энергии. Удельная потенциальная энергия, связанная с планетой массы M, определяется выражением, где G — гравитационная постоянная, а r — расстояние между двумя телами. Удельная кинетическая энергия объекта определяется выражением, где v — его скорость. Таким образом, общая удельная орбитальная энергия равна. Поскольку энергия сохраняется, она не может зависеть от расстояния r от центра центрального тела до космического аппарата, то есть v должно изменяться с r, чтобы сохранить удельную орбитальную энергию постоянной. Следовательно, объект может достичь бесконечности только в том случае, если это значение неотрицательно, что подразумевает. Скорость убегания с поверхности Земли составляет около 11 км/с, но этого недостаточно, чтобы отправить тело на бесконечное расстояние из-за гравитационного притяжения Солнца. Чтобы покинуть Солнечную систему с места, находящегося на расстоянии от Солнца, равном расстоянию Солнце-Земля, но не вблизи Земли, требуется скорость около 42 км/с, но будет “частичный кредит” за орбитальную скорость Земли для космических аппаратов, запущенных с Земли, если их дальнейшее ускорение (за счет системы тяги) несет их в том же направлении, в котором Земля движется по своей орбите.
Формулы для свободных орбит
Орбиты представляют собой конические сечения, поэтому формула для расстояния тела при заданном угле соответствует формуле для этой кривой в полярных координатах, которая равна, где называется гравитационным параметром, а — массы тел 1 и 2, а — удельный угловой момент тела 2 относительно тела 1. Параметр называется истинной аномалией, — большая полуось, а — эксцентриситет орбиты, все они получаются из различных форм шести независимых элементов орбиты.
Круговые орбиты
Все ограниченные орбиты, где гравитация центрального тела доминирует, имеют эллиптическую форму. Специальным случаем является круговая орбита, которая представляет собой эллипс с нулевым эксцентриситетом. Формула для скорости тела на круговой орбите на расстоянии r от центра тяжести массы M может быть получена следующим образом: центробежное ускорение соответствует ускорению, вызванному гравитацией. Следовательно, где G = 6,6743×10−11 м3/(кг·с2) — гравитационная постоянная. Чтобы правильно использовать эту формулу, единицы измерения должны быть согласованы; например, должна быть в килограммах, а — в метрах, тогда ответ будет в метрах в секунду. Величина часто называется стандартным гравитационным параметром, который имеет разное значение для каждой планеты или спутника в Солнечной системе. Как только известна скорость круговой орбиты, скорость убегания легко находится умножением на : Чтобы убежать от гравитации, кинетическая энергия должна быть не менее равна отрицательной потенциальной энергии. Следовательно,
Эллиптические орбиты
Если, то знаменатель уравнения свободных орбит изменяется с истинной аномалией, но остается положительным, никогда не становясь нулем. Следовательно, относительный радиус-вектор остается ограниченным, имея наименьшую величину в перигее, которая определяется выражением. Максимальное значение достигается, когда. Эта точка называется апогеем, а ее радиальная координата, обозначаемая, равна. Пусть — расстояние, измеренное вдоль линии апсид от перигея до апогея: Подставив уравнения выше, получим, где a — большая полуось эллипса. Решив для и подставив результат в формулу конического сечения выше, получим
Период обращения
При стандартных предположениях период обращения тела, движущегося по эллиптической орбите, можно вычислить как, где — стандартный гравитационный параметр, а — длина большой полуоси. Выводы:
– Период обращения равен периоду круговой орбиты с радиусом, равным большой полуоси.
– Для заданной большой полуоси период обращения не зависит от эксцентриситета (см. также третий закон Кеплера).
Скорость
При стандартных предположениях скорость тела, движущегося по эллиптической орбите, можно вычислить из уравнения vis-viva как, где — стандартный гравитационный параметр, — расстояние между орбитирующими телами, — длина большой полуоси. Уравнение скорости для гиперболической траектории
Энергия
При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия эллиптической орбиты отрицательна, и уравнение сохранения орбитальной энергии (уравнение vis-viva) для этой орбиты может иметь вид, где — скорость орбитирующего тела, — расстояние орбитирующего тела от центра масс центрального тела, — большая полуось, — стандартный гравитационный параметр. Выводы:
– Для заданной большой полуоси удельная орбитальная энергия не зависит от эксцентриситета.
Используя теорему вириала, находим:
– среднее значение удельной потенциальной энергии равно,
– среднее значение равно,
– среднее значение удельной кинетической энергии равно.
Параболические орбиты
Если эксцентриситет равен 1, то уравнение орбиты принимает вид, где — радиальное расстояние орбитирующего тела от центра масс центрального тела, — удельный угловой момент орбитирующего тела, — истинная аномалия орбитирующего тела, — стандартный гравитационный параметр. Когда истинная аномалия θ приближается к 180°, знаменатель приближается к нулю, так что r стремится к бесконечности. Следовательно, энергия траектории для которой e = 1 равна нулю, и определяется выражением, где — скорость орбитирующего тела. Другими словами, скорость в любой точке параболической траектории равна
Гиперболические орбиты
Если, то уравнение орбиты описывает геометрию гиперболической орбиты. Система состоит из двух симметричных кривых. Орбитирующее тело занимает одну из них; другая — это его пустая математическая копия. Ясно, что знаменатель уравнения выше обращается в ноль, когда. Мы обозначаем это значение истинной аномалии, поскольку радиальное расстояние приближается к бесконечности, когда истинная аномалия приближается к, известной как истинная аномалия асимптоты. Обратите внимание, что лежит между 90° и 180°. Из тригонометрического тождества следует, что
Энергия
При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия гиперболической траектории больше нуля, и уравнение сохранения орбитальной энергии для этого типа траектории имеет вид, где — орбитальная скорость орбитирующего тела, — радиальное расстояние орбитирующего тела от центрального тела, — отрицательная большая полуось гиперболы орбиты, — стандартный гравитационный параметр.
Избыточная гиперболическая скорость
При стандартных предположениях тело, движущееся по гиперболической траектории, достигнет орбитальной скорости, называемой избыточной гиперболической скоростью, которая может быть вычислена как, где — стандартный гравитационный параметр, — отрицательная большая полуось гиперболы орбиты. Избыточная гиперболическая скорость связана с удельной орбитальной энергией или характерной энергией выражением
Расчет траекторий
Уравнение Кеплера
Одним из подходов к расчету орбит (в основном использовавшимся исторически) является использование уравнения Кеплера:, где M — средняя аномалия, E — эксцентрическая аномалия, а — эксцентриситет. С помощью формулы Кеплера нахождение времени полета до достижения угла (истинной аномалии) от перигея разбивается на два этапа:
– Вычислить эксцентрическую аномалию из истинной аномалии.
– Вычислить время полета из эксцентрической аномалии.
Нахождение эксцентрической аномалии в заданный момент времени (обратная задача) более сложно. Уравнение Кеплера является трансцендентным по, то есть его нельзя решить алгебраически. Уравнение Кеплера можно решить аналитически путем инверсии. Решение уравнения Кеплера, справедливое для всех действительных значений, имеет вид. Вычисление этого выражения дает. Альтернативно, уравнение Кеплера можно решить численно. Сначала необходимо предположить значение и решить для времени полета; затем скорректировать, как необходимо, чтобы приблизить вычисленное время полета к желаемому значению до достижения требуемой точности. Обычно для этого используется метод Ньютона, чтобы достичь относительно быстрой сходимости. Основная трудность этого подхода заключается в том, что он может занимать чрезмерно долгое время для сходимости для крайне эллиптических орбит. Для почти параболических орбит эксцентриситет почти равен 1, и подстановка в формулу для средней аномалии дает, что мы вычитаем два почти равных значения, и точность ухудшается. Для почти круговых орбит трудно найти перигей в первую очередь (и действительно круговые орбиты не имеют перигея). Кроме того, уравнение было получено на предположении эллиптической орбиты, и поэтому оно не выполняется для параболических или гиперболических орбит. Эти трудности привели к разработке универсальной формулы переменной, описанной ниже.
Конические орбиты
Для простых процедур, таких как расчет Δv для копланарных эллиптических переходов, традиционные подходы довольно эффективны. Другие, такие как время полета, намного сложнее, особенно для почти круговых и гиперболических орбит. Приближение “заплаточного конуса”
Орбита Хоманна сама по себе является плохой аппроксимацией для межпланетных траекторий, поскольку она пренебрегает гравитацией планет. Гравитация планеты доминирует над поведением космического аппарата вблизи планеты, и в большинстве случаев Хоманн сильно переоценивает Δv и дает высоко неточные предписания для времени включения двигателей. Относительно простой способ получить первоначальную аппроксимацию Δv основан на технике “заплаточного конуса”. Необходимо выбрать одно доминирующее гравитирующее тело в каждом регионе пространства, через которое будет проходить траектория, и моделировать только его эффекты в этом регионе. Например, на траектории от Земли к Марсу сначала необходимо учитывать только гравитацию Земли до тех пор, пока траектория не достигнет расстояния, где гравитация Земли больше не доминирует над гравитацией Солнца. Космическому аппарату будет дана скорость убегания, чтобы отправить его в межпланетное пространство. Далее необходимо учитывать только гравитацию Солнца до тех пор, пока траектория не достигнет окрестности Марса. На этом этапе модель переходной орбиты является подходящей. Наконец, учитывается только гравитация Марса во время последней части траектории, где гравитация Марса доминирует над поведением космического аппарата. Космический аппарат подойдет к Марсу по гиперболической орбите, и окончательное тормозное включение двигателя замедлит космический аппарат достаточно, чтобы он был захвачен Марсом. Фридрих Цандер был одним из первых, кто применил подход “заплаточного конуса” для целей астродинамики, предлагая использовать гравитацию промежуточных тел для межпланетных путешествий, что сейчас известно как гравитационный маневр. Размер “окрестностей” (или сфер влияния) варьируется с радиусом, где — большая полуось орбиты планеты относительно Солнца; и — массы планеты и Солнца соответственно. Это упрощение достаточно для расчета грубых оценок потребности в топливе и грубых оценок времени полета, но оно обычно недостаточно точно для навигации космического аппарата к его назначению. Для этого требуются численные методы.
Универсальная формула переменной
Для решения вычислительных недостатков традиционных подходов к решению задачи двух тел была разработана универсальная формула переменной. Она работает одинаково хорошо для круговых, эллиптических, параболических и гиперболических случаев, дифференциальные уравнения сходятся хорошо при интеграции для любой орбиты. Она также хорошо обобщается на задачи, включающие теорию возмущений.
Возмущения
Универсальная формула переменной работает хорошо с методом вариации параметров, за исключением того, что вместо шести кеплеровских элементов орбиты используются другой набор элементов орбиты: а именно, начальные векторы положения и скорости спутника и в заданный момент времени. В симуляции двух тел эти элементы достаточны для расчета положения и скорости спутника в любой момент времени в будущем с помощью универсальной формулы переменной. Наоборот, в любой момент орбиты спутника можно измерить его положение и скорость, а затем использовать универсальный подход для определения его начальных положения и скорости в момент времени. В идеальной задаче двух тел эти элементы орбиты были бы инвариантами (как и кеплеровские элементы). Однако возмущения вызывают изменение элементов орбиты с течением времени. Следовательно, элемент положения записывается как, а элемент скорости — как, указывая на то, что они изменяются с течением времени. Методика расчета эффектов возмущений сводится к нахождению выражений, точных или приближенных, для функций и. Ниже приведены некоторые эффекты, которые заставляют реальные орбиты отличаться от простых моделей, основанных на сферической Земле. Большинство из них можно обработать на коротких временных масштабах (возможно, менее нескольких тысяч орбит) с помощью теории возмущений, поскольку они малы по сравнению с соответствующими эффектами двух тел.
– Экваториальные выпуклости вызывают прецессию узла и перигея
– Тессеральные гармоники поля тяжести вводят дополнительные возмущения
– Гравитационные возмущения Луны и Солнца изменяют орбиты
– Атмосферное трение уменьшает большую полуось, если не используется компенсационная тяга
На очень длинных временных масштабах (возможно, миллионы орбит) даже небольшие возмущения могут доминировать, и поведение может стать хаотическим. С другой стороны, различные возмущения можно использовать умелыми астродинамиками для помощи в задачах поддержания орбиты, таких как поддержание орбиты, поддержание следа на поверхности или корректировка перигея для покрытия выбранных целей на низкой высоте.
Орбитальный маневр
В космическом полете орбитальный маневр — это использование систем тяги для изменения орбиты космического аппарата. Для космических аппаратов, находящихся далеко от Земли — например, тех, что находятся на орбитах вокруг Солнца, — орбитальный маневр называется глубококосмическим маневром (DSM).
Переход орбиты
Переходные орбиты обычно являются эллиптическими орбитами, которые позволяют космическим аппаратам перемещаться из одной (обычно практически круговой) орбиты в другую. Обычно они требуют включения двигателя в начале, включения в конце и иногда одного или нескольких включений в середине.
– Орбита Хоманна требует минимального Δv.
– Биэллиптический переход может требовать меньше энергии, чем переход Хоманна, если соотношение орбит равно 11,94 или больше, но это происходит за счет увеличения времени полета по сравнению с переходом Хоманна.
– Более быстрые переходы могут использовать любую орбиту, пересекающую исходную и целевую орбиты, но за счет более высокого Δv.
– При использовании двигателей малой тяги (например, электрической тяги), если исходная орбита суперсинхронна с конечной желаемой круговой орбитой, то оптимальная переходная орбита достигается путем непрерывного включения тяги в направлении скорости в апогее. Однако этот метод занимает намного больше времени из-за малой тяги.
Гравитационный маневр и эффект Оберта
При гравитационном маневре космический аппарат пролетает вблизи планеты и уходит в другом направлении с другой скоростью. Это полезно для ускорения или замедления космического аппарата без необходимости нести дополнительное топливо. Этот маневр можно приближенно описать как упругое столкновение на больших расстояниях, хотя пролет не предполагает физического контакта. Согласно третьему закону Ньютона (равные и противоположные реакции), любая полученная космическим аппаратом импульс должна быть утеряна планетой, или наоборот. Однако, поскольку планета намного массивнее космического аппарата, эффект на орбиту планеты незначителен. Эффект Оберта можно использовать, особенно во время операции гравитационного маневра. Этот эффект заключается в том, что использование системы тяги работает лучше на высоких скоростях, и поэтому изменения курса лучше всего выполнять вблизи гравитирующего тела; это может умножить эффективный Δv.
Межпланетная транспортная сеть и размытые орбиты
Орбитальные маршруты можно определить с помощью нелинейных гравитационных взаимодействий между планетами и спутниками в Солнечной системе. Эти траектории являются частью межпланетной транспортной сети и следуют хаотическим орбитальным путям, которые требуют минимального количества топлива за пределами достижения точки Лагранжа, с периодическими корректировками курса. Орбиты можно построить от высокооколоземной орбиты до Марса через троянские точки Земли. Ограничения включают длительное время полета, часто занимающее несколько лет, и редкие окна запуска. Однако они были использованы в проектах, таких как Genesis. Этот космический аппарат посетил точку L1 системы Земля-Солнце и вернулся, используя очень мало топлива.