Физика, представленная в фильме "Интерстеллар", и её астрофизические применения
Аннотация: Фильм "Интерстеллар" основан на реальных физических расчётах. Одним из ключевых требований фильма является наличие планеты, вращающейся вокруг сверхмассивной чёрной дыры так, что один час на планете соответствует семи годам на Земле. Такое экстремальное замедление времени возможно только если планета вращается очень близко к горизонту чёрной дыры. Для не вращающейся (Шварцшильдовской) чёрной дыры, внутренний стабильный круговой орбит (ISCO) находится на расстоянии трёх радиусов Шварцшильда; связанный орбит между ISCO и горизонтом событий невозможен. Удивительно, но общая теория относительности позволяет таким орбитам существовать, если чёрная дыра вращается быстро. В этой работе мы представляем расчёты, которые сами по себе не тривиальны и интересны, но более того, они могут иметь полезные астрофизические последствия.
I Введение
"Интерстеллар" [13] — научно-фантастический фильм (2014) режиссёра Кристофера Нолана. Лауреат Нобелевской премии Кип Торн был исполнительным продюсером и научным консультантом фильма. Хотя это научно-фантастический фильм, он основан на реальных физических расчётах [13]. "Интерстеллар" рассказывает о Джозефе Купере, бывшем пилоте NASA, ставшем фермером, который набран для последней надежды миссии по спасению человечества от умирающей Земли. Вместе с небольшой командой — доктором Амилией Бранд, доктором Ромилли, доктором Дойлом и роботами ТАРС и КЕЙС — он путешествует через червоточину возле Сатурна, чтобы исследовать потенциально обитаемые миры в другой галактике. Фильм представляет планету — планету Миллера — океанический мир, вращающийся чрезвычайно близко к сверхмассивной чёрной дыре Гаргантюа так, что один час на планете соответствует семи годам на Земле — огромный коэффициент! Короткий визит команды на планете приводит к разрушительным временным последствиям, поскольку на Земле проходят десятилетия. Большой коэффициент замедления времени возникает из-за того, что орбита планеты находится очень близко к горизонту, что замедляет течение времени относительно далёких наблюдателей, как объясняет теория относительности Эйнштейна. На первый взгляд это кажется невозможным, потому что хорошо известно, что для не вращающейся чёрной дыры ISCO находится в трёх радиусах Шварцшильда, что совсем не близко к горизонту и, следовательно, приведёт к очень малому замедлению времени. Но, что удивительно, расчёты общей теории относительности показывают, что орбиты близко к горизонту могут существовать, если чёрная дыра вращается достаточно быстро. Для требуемого замедления времени чёрная дыра должна вращаться очень быстро — чрезвычайно близко к экстремальному Керру. Сама Гаргантюа изображена как быстро вращающаяся (Керровская) чёрная дыра, чьё вращение позволяет стабильным орбитам необычно близко к её горизонту событий. Изображение многих физических эффектов в фильме основано на реальных физических расчётах, что делает Гаргантю одной из самых научно точных чёрных дыр, визуализированных в кино. Цель этой статьи — воспроизвести расчёты Кипа Торна в деталях, которые, насколько нам известно, не были представлены в литературе. Эти расчёты сами по себе не тривиальны и поучительны, но здесь мы утверждаем, что они могут иметь важные последствия для астрофизики. Мы сначала показываем, что существуют стабильные круговые орбиты, касающиеся горизонта быстро вращающейся чёрной дыры, которые могут привести к большим коэффициентам замедления времени. Здесь мы представляем подробный расчёт с использованием рядов степеней. Мы сравниваем результаты, полученные с помощью рядов степеней, с численно полученными результатами из точного уравнения. Мы далее указываем, как эти расчёты могут привести к интересной астрофизике.
II Замедление времени
II.1 Предварительные замечания
Мы начинаем с основных уравнений, описывающих подобные времени геодезические в метрике Керра. Они обычно записываются в координатах Бойера-Линдквиста, которые удобны для наших расчётов. При установке , метрика задаётся уравнением (1) [7], где функции и определяются уравнением (2). Здесь — масса в единицах длины, а — угловой момент чёрной дыры на единицу массы чёрной дыры и имеет размерность длины. Чтобы получить фактические единицы углового момента, необходимо умножить на фактор , и , где — масса чёрной дыры. Удобно использовать безразмерные единицы для наших расчётов. Следовательно, мы определяем и . Мы сохраняем наши вычисления базовыми; нашей целью является вычисление подобных времени круговых орбит, в частности ISCO, тестовых частиц (планет) в экваториальной плоскости . Стационарность и аксиальная симметрия метрики Керра дают два первых интеграла уравнений геодезических (Мизнер и др. [12], Чандрасекар [5]): уравнение (3), где точка обозначает производную по безразмерному собственному времени частицы. Здесь — безразмерный угловой момент частицы на единицу массы частицы и чёрной дыры в бесконечности; — энергия в бесконечности тестовой частицы на единицу массы. Обращая эти уравнения для и , мы получаем уравнения (4) и (5). Безразмерная версия — это то же самое (мы обозначаем его тем же символом без путаницы). Требуемое замедление времени задаётся величиной .
II.2 Уравнения для ISCO
Из метрического уравнения (1) и первых интегралов уравнений (4) и (5) мы получаем уравнение для или, что эквивалентно, в экваториальной плоскости. Следуя Чандрасекару [5], мы устанавливаем и получаем уравнение для : уравнение (6). Чтобы двигаться к нашей цели, мы устанавливаем . Это условие только определяет точки поворота орбиты. Далее, записывая [5] , уравнение (6) принимает вид уравнения (7). Чтобы получить круговые орбиты, нам нужно, чтобы оба были равны нулю. Это эквивалентно дифференцированию уравнения (7) по и установке его равным нулю. Это приводит к уравнению (8). Для получения ISCO нам нужно дальнейшее дифференцирование уравнения (8) по . Это даёт уравнение (9). Из уравнений (7), (8) и (9) мы получаем следующее: уравнение (10). Мы можем сразу решить для и для ISCO (если оно существует) при , и таким образом получить уравнение (11). Мы можем убедиться, что эти уравнения согласуются с стандартными результатами для случая Шварцшильда . Тогда уравнение (9) даёт , что является просто ; подтверждая результат Шварцшильда. Также соответствующее из уравнения (11) тогда ; что снова является стандартным результатом. Однако нам нужны орбиты близко к горизонту, чтобы получить большие коэффициенты замедления времени. Это действительно возможно, как покажут наши расчёты. Увеличение приближает ISCO к горизонту по сравнению со случаем Шварцшильда. Из уравнения (11) мы можем исключить и из уравнения (9). Это приводит к биквадратному уравнению относительно , а именно к уравнению (12). Мы рассматриваем экстремальный случай , в котором мы ожидаем, что ISCO будет близко к горизонту событий. Легко проверить, что когда , является решением уравнения (12). Но также является горизонтом для экстремального Керра. Это будет означать бесконечное из уравнения (4), потому что . Поэтому имеет смысл выполнить ряд степеней вблизи горизонта событий и выбрать . Следовательно, мы записываем и , где . Мы теперь используем уравнение (9), чтобы получить уравнение в , где мы подставляем из уравнения (11), уравнение (13). В терминах и мы имеем уравнение уравнение (14). Мы решаем это уравнение приближённо для малых значений и . Для этого нам нужно выполнить ряд степеней как в , так и в . Оказывается, что для ; нам нужно расширять только до первого порядка в ; в то время как для нам нужно сохранить члены до – это ведущий член – члены более низкой степени сокращаются. Окончательный результат: уравнение (15). Последний шаг — вычислить в терминах . Для этого мы снова записываем уравнение (4) в удобной форме уравнение (16) и записываем и в терминах . Нам нужны эти величины только до первого порядка в . Мы легко получаем из уравнения (11) и . Также до необходимого порядка . Подставляя эти выражения в уравнение (16), мы получаем уравнение (17). В "Интерстелларе" один час на планете Миллера соответствует примерно семи годам на Земле из-за замедления времени. Это примерно коэффициент . Используя это значение в уравнении (17), мы получаем . Таким образом, чёрная дыра Гаргантюа вращается очень быстро; чрезвычайно близко к экстремальному Керру. Мы показываем на рисунке 1 два графика. График сверху показывает в зависимости от , а положение ISCO можно вывести из графика в зависимости от в нижней части. Точки, соответствующие "Интерстеллару", отмечены жирными точками на обоих графиках.
III За пределами "Интерстеллара"
Расчёты в разделе II имеют последствия для интересной астрофизики. Одним из вопросов, который может возникнуть, является то, будет ли планета Миллера разорвана приливными силами чёрной дыры. Масса чёрной дыры Гаргантюа считается очень большой . Это означает, что прямо за горизонтом гравитационное поле довольно слабое, а приливные силы не очень сильные. В работе Люминэ [10] утверждается, что планета остаётся на грани целостности — предельный Роша находится того же порядка, что и размер горизонта чёрной дыры км.
III.1 Точность приближения рядов степеней
Нам необходимо исследовать, насколько точно приближение, которое мы сделали в уравнении (15), является действительным. Для этого мы можем решить уравнение (12) численно. Результаты показаны в верхней панели рисунка 2. Из рисунка видно, что точный ISCO находится дальше от горизонта, чем это подразумевает приближение рядов степеней. Когда , разница в радиусах ISCO, вычисленных двумя методами, меньше 1%.
III.2 Сдвиг частоты фотонов, испускаемых аккреционными дисками
Одним из убедительных астрофизических применений является аккреционные диски вокруг чёрных дыр. В "Интерстелларе" чёрная дыра чрезвычайно близка к экстремальному Керру () с . Но в обычных астрофизических сценариях . С этой целью в нижней панели рисунка 2 мы строим в зависимости от для всего диапазона , который простирается от Шварцшильда до экстремального Керра. Для справки мы также строим горизонт, чтобы показать, как орбита ISCO приближается к горизонту по мере увеличения от нуля до единицы. Это имеет важные последствия для сдвига частоты, потому что сдвиг частоты увеличивается, когда орбитирующий материал аккреционного диска приближается к горизонту. Спектральные линии, например, линии железа , будут демонстрировать расширение, потому что орбиты находятся на разных расстояниях от горизонта. Для быстро вращающейся чёрной дыры это расширение будет довольно большим, как показывают наши результаты. Расширение спектральных линий можно использовать для оценки вращения чёрной дыры.
IV Заключительные замечания
В этой работе мы предоставили явные расчёты, касающиеся коэффициента замедления времени, который очень велик, как требуется в "Интерстелларе". Такие большие коэффициенты замедления времени возможны только если орбиты частиц (планет) могут существовать близко к горизонту событий чёрной дыры. Показано, что такие орбиты действительно существуют, если чёрная дыра вращается близко к экстремальному Керру. В частности, для коэффициента замедления времени безразмерный вращательный момент чёрной дыры равен , и ISCO касается горизонта событий. Мы также сравнили приближение рядов степеней с численно полученными результатами для радиуса ISCO. Кроме того, мы выполнили расчёты для сдвига частоты фотонов, испускаемых частицей на ISCO. Более того, мы утверждаем, что эти расчёты имеют отношение к астрофизике, такой как аккреционные диски и гравитационные волны, испускаемые компактными бинарами, вращающимися близко к сверхмассивным чёрным дырам. Мы подробнее остановимся на этих моментах ниже.
Хотя эта работа воспроизводит результаты, полученные в контексте фильма "Интерстеллар", её применение может быть полезным в более широких областях астрофизики, особенно тех, которые связаны с явлениями вблизи чёрных дыр. Например, излучение, испускаемое аккреционным диском вокруг чёрных дыр, может значительно сдвигаться к красному концу спектра вблизи горизонта событий. Профиль наблюдаемых эмиссионных линий, а именно линий железа, становится свёрткой распределения интенсивности и сдвига частоты (гравитационного и доплеровского) по аккреционным дискам. Тщательные, но очень сложные, расчёты таких профилей линий, хотя и численные, были представлены в литературе [11, 4, 9]. Однако расчёты, представленные в нашей работе, могут предоставить более простой способ получения физических представлений, даже если они не очень точны. Другим таким применением может быть контекст испускаемых гравитационных волн компактными бинарами (Крейтон и Андерсон [6]). Весьма возможно, что вокруг сверхмассивных чёрных дыр в центрах галактик существует более высокая концентрация намного более лёгких вращающихся или сливающихся бинаров (Ян и др. [14]). Сигнал гравитационных волн от этих бинаров также может сильно сдвигаться к красному концу спектра, когда они находятся близко к горизонту событий, что может сместить их частоты в более низкую частотную полосу; например, от десятков Гц для бинара с массой звезды, наблюдаемого в полосе LIGO [1], до децигерцовой полосы; или от децигерцовой полосы для бинара с промежуточной массой чёрной дыры до милигерцовой полосы, наблюдаемой LISA [2]. Также различные режимы, такие как w, p и f [8, 3], испускаемые нейтронными звёздами в килогерцовой полосе, будут сдвигаться в чувствительную полосу в диапазоне нескольких сотен Гц современных наземных детекторов гравитационных волн. Масштаб времени, на котором типичный бинар чёрных дыр сливается в наземных детекторах, составляет порядка нескольких секунд, в то время как наши расчёты здесь показывают, что для периоды ISCO составляют несколько сотен секунд, так что бинар сливается почти на той же фазе орбиты, что относительно упрощает расчёт формы сигнала гравитационных волн. Если, с другой стороны, масштаб времени слияния бинара того же порядка, что и период ISCO, то форма сигнала гравитационных волн будет изменена сложным образом зависящими от времени эффектами Доплера и изменяющейся поляризацией. Хотя получение точной формы сигнала в таких ситуациях может быть очень сложным; на основе геометрии и эволюции траектории центра масс бинара вокруг сверхмассивной чёрной дыры, наши расчёты, таким образом, предоставляют относительно простой способ предсказать, что можно ожидать в таких ситуациях, и стоит ли проводить полномасштабное исследование.
V Благодарности
Эта работа основана частично на диссертации магистра Харлин Дхингра, представленной в колледж Святого Ксавьера, Мумбаи, Индия. SVD хочет поблагодарить Саджала Мукерджи за прояснение вопроса. Авторы хотят поблагодарить Шубхаджита Даса и Саяна Кара за ценные комментарии, которые помогли в повторном анализе анализа ISCO.
VI Библиография
Ссылки – [1] (2015) Advanced ligo. Class. Quantum Grav. 32, pp. 074001. – [2] (2017) Laser interferometer space antenna. ArXiv e-prints. – [3] (1998) Towards gravitational wave asteroseismology. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 299 (4), pp. 1059–1068. – [4] (1998) The inner edge of the accretion disk around a supermassive black hole. Nature 391 (6665), pp. 54–56. – [5] (1983) The mathematical theory of black holes. Oxford University Press, Oxford. – [6] (2011) Gravitational-wave physics and astronomy: an introduction to theory, experiment and data analysis. Wiley–VCH, Weinheim. – [7] (2022) General relativity and gravitational waves: essentials of theory and practice. UNITEXT for Physics, Springer International Publishing, Cham. – [8] (1992) W-modes: a new family of normal modes of pulsating relativistic stars. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 255 (1), pp. 119–128. – [9] (1991) Line profiles from a disk around a rotating black hole. The Astrophysical Journal 376, pp. 90–94. – [10] (2015) The black hole and the visualization of gravity in the film interstellar. Annalen der Physik 527 (1-2), pp. 5. – [11] (2000) Effects of kerr space-time on spectral features from x-ray illuminated accretion discs. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 312 (4), pp. 817–826. – [12] (1973) Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco. – [13] (2014) The science of interstellar. W. W. Norton & Company, New York. – [14] (2019) Hierarchical black hole mergers in active galactic nuclei. Phys. Rev. Lett. 123, pp. 181101.