Динамика полёта космических аппаратов
Динамика полёта космических аппаратов — это применение механической динамики для моделирования того, как внешние силы, действующие на космический аппарат, определяют его траекторию. Эти силы делятся преимущественно на три типа: тяга, создаваемая двигателями аппарата; гравитационная сила, действующая со стороны Земли и других небесных тел; а также аэродинамическая подъёмная сила и сопротивление (при полёте в атмосфере Земли или другого тела, например Марса или Венеры). Принципы динамики полёта используются при моделировании работы двигателей на стадии старта с Земли; орбитального полёта космического аппарата; манёвров изменения орбиты; лунных и межпланетных перелётов; взлёта с небесного тела и посадки на него — с атмосферой или без; входа в атмосферу Земли или другого тела; а также управления ориентацией. Обычно эти расчёты заложены в инерциальные навигационные системы аппарата, а за ходом динамики полёта наземная группа контролёров следит в режиме реального времени — в NASA за это отвечает офицер динамики полёта (flight dynamics officer), в Европейском космическом агентстве — космический навигатор (spacecraft navigator). Динамика полёта опирается на такие дисциплины, как двигательная установка, аэродинамика и астродинамика (орбитальная и небесная механика). Её нельзя свести просто к управлению ориентацией: у реальных космических аппаратов нет рулей или рулевых колес, как у самолётов или кораблей. В отличие от того, как показывают фантастические корабли в кино, космический аппарат в открытом космосе не кренится для поворота — его траектория определяется исключительно гравитационными силами и совершаемыми манёврами.
Основные принципы
Полёт космического аппарата описывается вторым законом Ньютона: F — равнодействующая всех сил, приложенных к аппарату; m — текущая масса аппарата; a — вектор ускорения, мгновенная скорость изменения скорости v, которая, в свою очередь, есть мгновенная скорость изменения перемещения. Ускорение равно сумме сил, делённой на массу. Интегрируя ускорение по времени, получаем скорость, а интегрируя скорость — получаем координаты. Расчёты динамики полёта выполняются бортовыми вычислительными системами наведения; за ходом динамики на земле следит член группы контролёров, в NASA называемый офицером динамики полёта, а в ESA — космическим навигатором.
При работающем двигателе в атмосфере на аппарат действуют три основные силы: тяга двигателей, аэродинамическая сила и сила тяжести. Прочие внешние силы — центробежная сила, сила Кориолиса, давление солнечного излучения — обычно незначительны из-за короткого времени работы двигателей и малых размеров аппарата и в упрощённых расчётах, как правило, не учитываются.
Двигательная установка
Тяга ракетного двигателя, работающего в атмосфере, приближённо вычисляется по формуле:
ṁ — массовый расход выхлопных газов;
c* — эффективная скорость истечения (иногда обозначается как c);
v_e — эффективная скорость струи при p_amb = p_e;
A_e — площадь сечения на выходном срезе сопла (или плоскость, в которой струя покидает сопло при разделённом потоке);
p_e — статическое давление на выходном срезе сопла;
p_amb — давление окружающей среды (атмосферы).
Удельный импульс ракетного топлива пропорционален вакуумному удельному импульсу и зависит от давления атмосферы:
I_sp — в секундах;
g_0 — ускорение свободного падения на поверхности Земли.
Удельный импульс связывает запас характеристической скорости (delta-v) с количеством израсходованного топлива по уравнению Циолковского:
m_0 — начальная полная масса с топливом (кг или фунт);
m_f — конечная полная масса (кг или фунт);
v_e — эффективная скорость истечения (м/с или фут/с);
Δv — характеристическая скорость (м/с или фут/с).
Аэродинамические силы
Аэродинамические силы, возникающие вблизи тел с плотной атмосферой — Земли, Марса или Венеры, — разложены на две составляющие: подъёмная сила — перпендикулярно направлению полёта (не обязательно вверх, в отличие от самолёта); и сила сопротивления — параллельно направлению полёта и направленная против него. Подъёмная сила и сопротивление моделируются как произведение коэффициента на динамическое давление, действующее на характерную площадь:
C_L приблизительно линейно зависит от α — угла атаки между осью аппарата и направлением полёта (до предельного значения), и равна нулю при α = 0 для осесимметричного тела;
C_D варьируется с α²;
C_L и C_D зависят от числа Рейнольдса и числа Маха;
q — динамическое давление, равное ½ρv², где ρ — плотность атмосферы, для Земли моделируется по международному стандартному атмосферному профилю (с учётом распределения температуры, гидростатического градиента давления и уравнения состояния идеального газа);
A_ref — характерная площадь аппарата, например максимальное поперечное сечение.
Гравитация
Гравитационная сила, с которой небесное тело действует на космический аппарат, рассчитывается при условии, что и тело, и аппарат считаются точечными массами; тела (Земля, Луна и т. д.) упрощаются до сфер; масса аппарата много меньше массы тела, поэтому его влияние на гравитационное ускорение можно не учитывать.
F_g — гравитационная сила (вес);
m — масса космического аппарата;
r — расстояние от аппарата до центра планеты;
R — радиус планеты;
g_p — ускорение свободного падения на поверхности планеты.
Ускорение свободного падения на высоте g варьируется обратно пропорционально квадрату расстояния до центра планеты.
Работа двигателей
Уравнения движения, описывающие работу двигателей при старте, могут быть как сложными — до шести степеней свободы для бортовых расчётов, — так и упрощёнными — до двух степеней свободы для предварительных оценок. Бортовые расчёты учитывают возмущения: сплюснутость Земли и неравномерное распределение массы, гравитационные воздействия всех близких тел, включая Луну, Солнце и другие планеты. При предварительных оценках делают упрощения: сферическая однородная планета, аппарат — точечная масса, задача двух тел, локальная траектория лежит в одной плоскости — с приемлемой точностью.
Общий случай старта с Земли требует учёта тяги двигателей, аэродинамических сил и гравитации. Уравнение ускорения можно свести от векторной формы к скалярной, разложив его на тангенциальную составляющую (скорость) и угловую (угол траектории относительно местного вертикикала) относительно стартовой площадки. Получаются два уравнения:
F — тяга двигателя;
α — угол атаки;
m — масса аппарата;
D — аэродинамическое сопротивление;
L — подъёмная сила;
r — расстояние до центра планеты;
g — ускорение свободного падения на высоте.
Масса убывает по мере расходования топлива и сброса ступеней, двигателей или баков (при наличии). Значения скорости v и угла θ, привязанные к планете, в любой момент времени определяются численным интегрированием двух дифференциальных уравнений от нуля (где и v, и θ равны нулю).
Для интегрирования уравнений можно использовать метод конечных элементов, разбивая полёт на малые временные шаги. У большинства ракет подъёмная сила невелика, и применяется гравитационный разворот, при котором решающую роль играет третий член углового уравнения. В момент отрыва от стартовой площадки, когда и угол, и скорость равны нулю, уравнение для θ̆ математически неопределено и не может быть вычислено, пока скорость не станет ненулевой вскоре после отрыва. Но при этой условии единственная сила, способная заставить аппарат набрать угол — это тяга двигателя под ненулевым углом атаки (первый член) и, возможно, небольшая подъёмная сила (второй член), пока не будет достигнут ненулевой угол тангажа. При гравитационном развороте отклонение начинается с увеличения угла атаки (через гироскопическое отклонение тяги), затем угол атаки постепенно уменьшается на оставшемся участке полёта.
Зная скорость и угол траектории, высоту и дальность полёта вычисляют по формулам:
Значения v и θ, привязанные к планете, переводятся в инерциальные значения по формулам:
ω — угловая скорость вращения планеты (рад/с);
φ — широта стартовой площадки;
A_z — азимут старта.
Итоговые v_s, θ_s и r должны соответствовать требованиям целевой орбиты, определяемым орбитальной механикой (см. ниже), где итоговая v_s — обычно требуемая скорость на перицентре (или круговая скорость), а итоговый θ_s равен 90°. Анализ управляемого снижения использует тот же подход, но с обратными граничными условиями.
Орбитальный полёт
Орбитальная механика используется для расчёта полёта на орбите вокруг центрального тела. Для орбит на достаточной высоте (как правило, не ниже 190 км, или 100 морских миль для Земли) аэродинамическая сила может считаться пренебрежимо малой для относительно коротких миссий (хотя небольшое сопротивление со временем приводит к распаду орбиты). Когда масса центрального тела много больше массы аппарата, а прочие тела достаточно далеки, траекторию можно рассматривать как задачу двух тел. В этом случае траектория идеальна как коническое сечение (окружность, эллипс, парабола или гипербола) с центральным телом в одном фокусе.
Орбитальные траектории — окружности или эллипсы; параболическая траектория соответствует первому космическому ускорению для покидания гравитационного поля; гиперболические траектории — с избыточной скоростью (подробнее — в разделе «Межпланетный полёт»).
Эллиптические орбиты характеризуются тремя элементами. Большая полуось a — среднее между радиусами апоапсида и перицентра:
Эксцентриситет e для эллипса определяется по апсидам:
Период полного оборота зависит только от большой полуоси и не зависит от эксцентриситета:
μ — гравитационная постоянная центрального тела.
Ориентация орбиты в пространстве задаётся тремя углами:
— Наклонение i — угол между плоскостью орбиты и базовой плоскостью (обычно экваториальная плоскость планеты или, для солнечной орбиты, плоскость эклиптики). Положительное наклонение — в северном направлении, отрицательное — в южном.
— Долгота восходящего узла Ω — измеряется в базовой плоскости против часовой стрелки при взгляде с юга от опорного направления (обычно точка весеннего равноденствия) до линии пересечения плоскости орбиты, где аппарат пересекает её с юга на север. Если наклонение нулевое, угол не определён и принимается равным нулю.
— Аргумент перицентра ω — измеряется в плоскости орбиты против часовой стрелки при взгляде с юга от восходящего узла до перицентра. Если наклонение нулевое, восходящего узла нет, и ω отсчитывается от опорного направления. Для круговой орбиты перицентра нет, и ω принимается равным нулю.
Орбитальная плоскость идеальна постоянна, но обычно подвержена малым возмущениям от сплюснутости планеты и присутствия других тел. Положение аппарата на орбите задаётся истинной аномалией ν — углом от перицентра (или для круговой орбиты — от восходящего узла или опорного направления).
Полулатум прямой, или радиус при 90° от перицентра:
Радиус в любой точке орбиты:
Скорость в этой точке:
Типы орбит
Круговая
Для круговой орбиты r_a = r_p = a, эксцентриситет равен нулю. Круговая скорость на данном радиусе:
Эллиптическая
Для эллиптической орбиты 0 < e < 1. Скорость в перицентре:
Скорость в апоапсиде:
Предельный случай — параболическая уходящая орбита при e = 1 и r_a → ∞. Скорость ухода в перицентре:
Угол траектории
Удельный момент импульса любой конической орбиты h постоянен и равен произведению радиуса и скорости в перицентре. В любой другой точке орбиты:
φ — угол траектории, отсчитываемый от местного горизонта (перпендикулярно r). Это позволяет вычислить φ в любой точке орбиты по известным r и v. Для круговой орбиты угол траектории постоянно равен нулю (90° от местного вертикикала).
Истинная аномалия как функция времени
Угловое уравнение импульса связывает скорость изменения истинной аномалии с r, v и φ, поэтому истинная аномалия находится как функция времени от прохождения перицентра интегрированием:
Обратно, время достижения заданной аномалии:
Орбитальные манёвры
На орбите космический аппарат может включить двигатели для изменения высоты или типа орбиты в её плоскости или для изменения орбитальной плоскости. Эти манёвры требуют изменения скорости, и классическое ракетное уравнение используется для расчёта расхода топлива. Бюджет Δv суммирует все требования по топливу или определяет общий запас Δv для заданного количества топлива. Большинство манёвров на орбите можно моделировать как импульсные — почти мгновенное изменение скорости с приемлемой точностью.
Изменения в плоскости орбиты
Выравнивание орбиты
Эллиптическую орбиту проще всего перевести в круговую в перицентре или апоапсиде одним включением двигателя с Δv, равным разности круговой скорости целевой орбиты и текущей скорости в перицентре или апоапсиде:
Для выравнивания в перицентре — тормозной включение;
Для выравнивания в апоапсиде — притормозное включение.
Изменение высоты по Хоману
Переходная орбита Хомана — самый простой способ перехода с одной высоты на другую. Требуется два включения: первое для выхода на эллиптическую переходную орбиту, второе для выравнивания целевой орбиты.
Для повышения круговой орбиты r_1:
Первое притормозное включение повышает скорость до скорости перицентра переходной орбиты:
Второе притормозное включение в апоапсиде повышает скорость до скорости целевой орбиты:
Понижение орбиты — зеркальное отражение повышения: оба включения тормозные.
Изменение высоты по биэллиптической переходной орбите
Чуть более сложный манёвр — биэллиптический переход, состоящий из двух полуэллиптических орбит: первое притормозное включение выводит аппарат на произвольно большую апоапсиду, выбранную в точке, удалённой от центрального тела. Там второе включение корректирует перицентр до радиуса конечной орбиты, а третье тормозное включение вносит аппарат на целевую орбиту. Хотя перелёт длительнее, биэллиптический переход может потребовать меньше общего топлива, чем переход Хомана, если отношение начального и конечного радиусов орбиты равно или больше 12.
Включение 1 (притормозное):
Включение 2 (притормозное или тормозное) — для совмещения перицентра с высотой целевой орбиты:
Включение 3 (тормозное):
Изменение плоскости
Манёвры изменения плоскости могут выполняться отдельно или совместно с другими коррекциями орбиты. При чистом вращении плоскости — только изменении наклонения — модули удельного момента импульса начальной и конечной орбит равны, но направлены по-разному. Изменение момента импульса:
h — момент импульса до изменения плоскости;
Δi — требуемое изменение угла наклона.
Отсюда следует требуемая Δv:
Из определения h это можно записать и иначе:
v — модуль скорости до изменения плоскости;
φ — угол траектории.
С учётом малого угла:
Полная Δv для комбинированного манёвра находится векторным сложением чистого вращательного Δv и Δv прочего орбитального изменения.
Лунный перелёт
Аппараты, отправляемые к Луне или другим планетам, обычно не выводятся на прямую уходящую траекторию, а сначала помещаются на низкую околоземную орбиту — это даёт гибкость по окну запуска и время на проверку готовности аппарата. Для полёта к Луне не требуется скорость ухода — достаточно поднять апогей до точки входа в гравитационный сферический предел (SOI) Луны. Это расстояние, на котором гравитационное притяжение спутника к аппарату равно притяжению центрального тела:
D — среднее расстояние от спутника до центрального тела;
m_c и m_s — массы центрального тела и спутника соответственно.
Для Луны это примерно 66 300 км (35 800 морских миль) от Земли. Точная траектория требует расчёта как задачи трёх тел, но предварительная оценка делается методом сплайн-конического приближения орбит вокруг Земли и Луны, стыкованного в точке SOI, с учётом того, что Луна вращается вокруг Земли.
Транслюнарный ввод
Он должен быть рассчитан так, чтобы Луна оказалась в точке перехвата аппарата, и в первом приближении моделируется как переход Хомана. Однако время работы двигателя обычно достаточно велико, и угол траектории меняется заметно, поэтому точность такая модель не даёт. Необходимо моделирование как неимпульсного манёвра с интегрированием по методу конечных элементов ускорений от тяги и гравитации:
F — тяга двигателя;
α — угол атаки;
m — масса аппарата;
r — расстояние до центра планеты;
g — ускорение свободного падения, обратно пропорциональное квадрату расстояния.
Высота h, дальность x и расстояние r от центра Земли затем вычисляются по формулам:
Коррекции средней траектории
Простая лунная траектория лежит в одной плоскости, что обеспечивает пролёт или орбиту с небольшим наклоном к лунному экватору. Это также позволяет «свободный возврат» — аппарат вернётся в точку входа в атмосферу Земли, если его не захватить лунной орбитой. Для коррекции траектории обычно требуются небольшие изменения скорости. Такую траекторию использовали пилотируемые миссии «Аполлон-8», «Аполлон-10», «Аполлон-11» и «Аполлон-12». Большая гибкость по наклону лунной орбиты или площадке посадки достигается манёвром изменения плоскости по ходу полёта, но это лишает возможности свободного возврата — новая плоскость уведёт аварийную траекторию от точки входа в атмосферу Земли, оставив аппарат на высокоорбитальной траектории. Такую траекторию использовали последние пять миссий «Аполлон» (13–17).
Вход на лунную орбиту
В программе «Аполлон» тормозной включение для входа на лунную орбиту выполнялось на высоте около 110 км (59 морских миль) на обратной стороне Луны. Это стало перицинтионом начальных орбит с апоцинтионом порядка 300 км (160 морских миль). Δv составляла примерно 1000 м/с (3300 фут/с). Через две орбиты орбита выравнивалась на 110 км.
Для каждой миссии офицер динамики полёта подготавливал 10 решений для входа на лунную орбиту, из которых выбиралось оптимальное (минимальный расход топлива) и наилучшим образом отвечавшее задачам миссии; решение загружалось в бортовой компьютер и выполнялось экипажем на обратной стороне Луны, вне связи с Землёй.
Межпланетный полёт
Чтобы покинуть гравитационное поле одной планеты и достичь другой, необходима гиперболическая траектория относительно отправляющей планеты с избыточной скоростью, прибавленной к (или отнятой от) орбитальной скорости планеты вокруг Солнца. Гелиоцентрическая переходная орбита к внешней планете имеет перигелий в точке отправления, и избыточная скорость прикладывается в направлении движения, когда аппарат находится вдали от Солнца. К внутренней планете — афелий в точке отправления, и избыточная скорость прикладывается против хода, когда аппарат ближе к Солнцу.
Для точных расчётов элементы орбит планет берутся из эфемерид, например опубликованных Лабораторией реактивного движения NASA.
Упрощения
| Тело | Эксцентриситет | Среднее расстояние (10⁶ км) | Орбитальная скорость (км/с) | Орбитальный период (лет) | Масса (Земля = 1) | (км³/с²) |
|—|—|—|—|—|—|—|
| Солнце | — | — | — | — | 333 432 | 1,327×10¹¹ |
| Меркурий | 0,2056 | 57,9 | 47,87 | 0,241 | 0,056 | 2,232×10⁴ |
| Венера | 0,0068 | 108,1 | 35,04 | 0,615 | 0,817 | 3,257×10⁵ |
| Земля | 0,0167 | 149,5 | 29,79 | 1,000 | 1,000 | 3,986×10⁵ |
| Марс | 0,0934 | 227,8 | 24,14 | 1,881 | 0,108 | 4,305×10⁴ |
| Юпитер | 0,0484 | 778 | 13,06 | 11,86 | 318,0 | 1,268×10⁸ |
| Сатурн | 0,0541 | 1426 | 9,65 | 29,46 | 95,2 | 3,795×10⁷ |
| Уран | 0,0472 | 2868 | 6,80 | 84,01 | 14,6 | 5,820×10⁶ |
| Нептун | 0,0086 | 4494 | 5,49 | 164,8 | 17,3 | 6,896×10⁶ |
Для предварительного анализа и оценки осуществимости миссии делают упрощения, позволяющие рассчитать Δv с малой погрешностью:
— Все планеты, кроме Меркурия, имеют очень малый эксцентриситет и могут считаться движущимися по круговым орбитам с постоянной скоростью на среднем расстоянии от Солнца.
— Орбиты всех планет (кроме Меркурия) почти компланарны, с малым наклоном к эклиптике (3,39° или менее; у Меркурия — 7,00°).
— Возмущения от гравитации других планет пренебрежимы.
— Аппарат большую часть полёта находится под действием гравитации только Солнца, за исключением кратковременных периодов в сферах влияния отправляющей и целевой планет.
Поскольку межпланетные аппараты проводят много времени в гелиоцентрической орбите между планетами, находящимися на относительно больших расстояниях друг от друга, сплайн-коническое приближение для межпланетных траекторий точнее, чем для лунных.
Точка стыковки гиперболической траектории относительно отправляющей планеты и гелиоцентрической переходной орбиты находится на радиусе сферы влияния планеты относительно Солнца, определённом выше в разделе «Орбитальный полёт». При массе Солнца, в 333 432 раза превышающей земную, и расстоянии 149 500 000 км радиус сферы влияния Земли составляет 924 000 км (499 000 морских миль), приблизительно 1 000 000 км.
Гелиоцентрическая переходная орбита
Переходная орбита, несущая аппарат от орбиты отправляющей планеты к орбите целевой, выбирается из нескольких вариантов:
— Орбита Хомана требует минимального топлива и Δv; это половина эллипса, апоцентр и перицентр которого касаются орбит обеих планет, с максимальным временем полёта, равным половине периода эллипса. Это так называемая миссия когнакции (conjunction-class). Свободного возврата нет: если аппарат не войдёт на орбиту целевой планеты, а продолжит переходную орбиту, отправляющая планета не окажется на прежнем месте. Обратный перелёт по Хоману потребует длительного ожидания у целевой планеты и очень долгого общего времени кругосветной миссии. Писатель-фантаст Артур Кларк в своей книге 1951 года «Исследование космоса» оценил кругосветный перелёт Земля–Марс: 259 дней в пути туда, 259 дней обратно и 425 дней на Марсе.
— Увеличение скорости на апоцентре отправления (и, значит, большой полуоси) даёт траекторию, пересекающую орбиту целевой планеты нетангенциально до достижения противоположного апоцентра: расход Δv больше, но время полёта меньше максимума.
— Гравитационный ассист, или «следующий манёвр», или миссия Крокко (в честь Гаэтано Крокко, предложившего его в 1956 г.), даёт миссию оппозиции с существенно меньшим временем пребывания у цели. Достигается пролётом мимо третьей планеты с использованием её гравитации для изменения орбиты. Кругосветный перелёт к Марсу, например, можно сократить с 943 дней конъюнктивной миссии до менее чем года, уйдя на обратном пути мимо Венеры.
Гиперболический уход
Требуемая избыточная скорость v_∞ (иногда называемая характеристической скоростью) — разность скорости отправления на переходной орбите и гелиоцентрической орбитальной скорости отправляющей планеты. После определения injection-скорость относительно планеты отправления в перицентре:
Вектор избыточной скорости гиперболы смещён от касательной в перицентре на характерный угол, поэтому включение в перицентре должно опережать точку отправления от планеты на тот же угол.
Геометрическое уравнение эксцентриситета эллипса для гиперболы неприменимо. Но эксцентриситет можно рассчитать динамически:
h — удельный момент импульса из раздела «Орбитальный полёт», рассчитанный в перицентре;
ε — удельная энергия.
Формулы для r и v из раздела «Орбитальный полёт» зависят от большой полуоси и потому непригодны для уходящей траектории. Приравнивание радиуса в перицентре к выражению для r при нулевой аномалии даёт альтернативное выражение для полулатум прямой:
Это даёт более общую зависимость радиуса от аномалии, применимую при любом эксцентриситете. Подстановка альтернативного p даёт и альтернативное выражение для a (определяемого для гиперболы, но уже не как большой полуоси). Отсюда — зависимость скорости от радиуса, тоже применимая при любом эксцентриситете.
Формулы для угла траектории и аномалии как функций времени из раздела «Орбитальный полёт» также применимы для гиперболических траекторий.
Окна запуска
Требуемое изменение скорости для миссии сильно варьируется во времени из-за непрерывного изменения взаимного расположения планет. Оптимальные окна запуска выбирают по результатам диаграмм «porkchop», на которых контуры характеристической энергии (v_∞²) наложены на время отправления и прибытия.
Вход в атмосферу
Управляемый вход, снижение и посадка обеспечиваются рассеиванием избыточной кинетической энергии за счёт аэродинамического нагрева от сопротивления, что требует теплоизоляции и/или тормозного тягового воздействия. Финальное снижение обычно осуществляется парашютами и/или воздушными тормозами.
Управление ориентацией
Поскольку космические аппараты большую часть полёта проводят в невесомости без включённых двигателей, их траектория не определяется ориентацией — за исключением атмосферного полёта (управление подъёмной силой и сопротивлением) и работы двигателей (выравнивание вектора тяги). Тем не менее ориентация часто поддерживается в беспотенциальном полёте для астрономических наблюдений, связи или солнечной энергетики; или для создания управляемого вращения для пассивного теплового контроля, или для создания искусственной гравитации.
Ориентация задаётся углами относительно трёх взаимно перпендикулярных осей вращения — крен, тангаж, рыскание. Определяется калибровкой по внешней системе наведения (угол до опорной звезды или Солнца), затем контролируется бортовым инерциальным датчиком — механическим или оптическим гироскопом. Ориентация — векторная величина, описываемая тремя углами мгновенного направления и мгновенными скоростями крена по всем трём осям. Управление означает одновременно осведомлённость о текущей ориентации и скоростях крена и способность изменять их для перехода в новое положение — с помощью реактивной системы управления или иным способом.
Второй закон Ньютона для вращательного, а не линейного движения:
τ — равнодействующий момент силы об вращательной оси;
I_x — момент инерции относительно этой оси (физическая величина, объединяющая массу и её распределение);
α — угловое ускорение (рад/с²).
Угловое ускорение в градусах/с²:
Аналогично линейному движению, угловая скорость (°/с) получается интегрированием α по времени, а угол вращения — интегрированием скорости.
Три главных момента инерции I_x, I_y, I_z относительно осей крена, тангажа и рыскания определяются через центр масс аппарата. Момент управления для ракеты-носителя иногда создаётся аэродинамически — рулевыми поверхностями, обычно — через подвес двигателей на гироскопических платформах для векторирования тяги относительно центра масс. Момент часто прикладывается к космическому аппарату в отсутствие аэродинамических сил — реактивной системой управления, набором форсунок, расположенных вокруг аппарата. Форсунки включаются — вручную или автоматически — короткими импульсами для достижения нужной угловой скорости, а затем в противоположном направлении для остановки на заданном положении.
Момент относительно конкретной оси:
r — расстояние от центра масс;
F — тяга отдельной форсунки (учитывается только составляющая F, перпендикулярная r).
Для случаев, когда расход топлива критичен (длительные спутники или орбитальные станции), применяются альтернативные средства — реактивные колёса или гироскопы момента.
Примечания
↑ «ESA – Flight Dynamics». European Space Agency. Retrieved June 22, 2020.
↑ Bate, Mueller & White (1971), pp. 11–12.
↑ George P. Sutton & Oscar Biblarz (2001). Rocket Propulsion Elements (7th ed.). Wiley Interscience. ISBN 0-471-32642-9. See Equation 2-14.
↑ Sutton, George P.; Biblarz, Oscar (2001). Rocket Propulsion Elements. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-32642-7. Archived from the original on 12 January 2014. Retrieved 28 May 2016.
↑ George P. Sutton & Oscar Biblarz (2001). Rocket Propulsion Elements (7th ed.). Wiley Interscience. ISBN 0-471-32642-9. See Equation 3-33.
↑ Anderson (2004), pp. 257–261.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Kromis (1967), p. 11:154.
↑ Glasstone (1965), p. 209, §4.97.
↑ 1 2 Perry (1967), p. 11:151.
↑ Bate, Mueller & White (1971), pp. 11–40.
↑ Bate, Mueller & White (1971), p. 33.
↑ Bate, Mueller & White (1971), p. 24.
↑ Bate, Mueller & White (1971), p. 18.
↑ Bate, Mueller & White (1971), pp. 31–32.
↑ Curtis, Howard (2005). Orbital Mechanics for Engineering Students. Elsevier. p. 264. ISBN 0-7506-6169-0.
↑ Gobetz, F. W.; Doll, J. R. (May 1969). "A Survey of Impulsive Trajectories". AIAA Journal. 7 (5). American Institute of Aeronautics and Astronautics: 801–834. Bibcode:1969AIAAJ…7..801D. doi:10.2514/3.5231.
↑ Escobal, Pedro R. (1968). Methods of Astrodynamics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-24528-5.
↑ Hintz (2015), p. 112.
↑ Bate, Mueller & White (1971), pp. 333–334.
↑ 1 2 O'Brien, Frank (1999). "Lunar Orbit Insertion". Apollo Flight Journal. David Woods. Retrieved June 25, 2020.
↑ Bate, Mueller & White (1971), p. 359.
↑ "Keplerian elements for 1800 A.D. to 2050 A.D." JPL Solar System Dynamics. Archived from the original on 2009-07-23. Retrieved 17 December 2009.
↑ 1 2 3 4 5 Bate, Mueller & White (1971), p. 361.
↑ 1 2 Bate, Mueller & White (1971), pp. 359, 362.
↑ Bate, Mueller & White (1971), p. 368.
↑ Mattfeld et al. (2015), p. 3.
↑ 1 2 Drake et al. 2017.
↑ 1 2 Bate, Mueller & White (1971), pp. 362–363.
↑ Mattfeld et al. (2015), pp. 3–4.
↑ Bate, Mueller & White (1971), p. 369.
↑ 1 2 3 Bate, Mueller & White (1971), p. 371.
↑ Bate, Mueller & White (1971), p. 372.
↑ Beer & Johnston (1972), p. 499.
↑ "Reaction/Momentum Wheel". NASA. Retrieved 15 June 2018.
↑ Gurrisi, Charles; Seidel, Raymond; Dickerson, Scott; Didziulis, Stephen; Frantz, Peter; Ferguson, Kevin (12 May 2010). "Space Station Control Moment Gyroscope Lessons Learned" (PDF). Proceedings of the 40th Aerospace Mechanisms Symposium.
Литература
Anderson, John D. (2004), Introduction to Flight (5th ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-282569-3
Bate, Roger B.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971), Fundamentals of Astrodynamics, Dover
Beer, Ferdinand P.; Johnston, Russell Jr. (1972), Vector Mechanics for Engineers: Statics & Dynamics, McGraw-Hill
Drake, Bret G.; Baker, John D.; Hoffman, Stephan J.; Landau, Damon; Voels, Stephen A. (2017). "Trajectory Options for Exploring Mars and the Moons of Mars". NASA Human Spaceflight Architecture Team (Presentation).
Fellenz, D.W. (1967). "Atmospheric Entry". In Theodore Baumeister (ed.). Marks' Standard Handbook for Mechanical Engineers (Seventh ed.). New York City: McGraw Hill. pp. 11:155–58. ISBN 0-07-142867-4.
Glasstone, Samuel (1965). Sourcebook on the Space Sciences. D. Van Nostrand Company, Inc.
Hintz, Gerald R. (2015). Orbital Mechanics and Astrodynamics: Techniques and Tools for Space Missions. Cham. ISBN 978-3-319-09444-1. OCLC 900730410.
Kromis, A.J. (1967). "Powered-Flight-Trajectory Analysis". In Theodore Baumeister (ed.). Marks' Standard Handbook for Mechanical Engineers (Seventh ed.). New York City: McGraw Hill. pp. 11:154–55. ISBN 0-07-142867-4.
Mattfeld, Bryan; Stromgren, Chel; Shyface, Hilary; Komar, David R.; Cirillo, William; Goodliff, Kandyce (2015). Trades Between Opposition and Conjunction Class Trajectories for Early Human Missions to Mars (PDF) (Report). Retrieved July 10, 2018.
Perry, W.R. (1967). "Orbital Mechanics". In Theodore Baumeister (ed.). Marks' Standard Handbook for Mechanical Engineers (Seventh ed.). New York City: McGraw Hill. pp. 11:151–52. ISBN 0-07-142867-4.
Russell, J.W. (1967). "Lunar and Interplanetary Flight Mechanics". In Theodore Baumeister (ed.). Marks' Standard Handbook for Mechanical Engineers (Seventh ed.). New York City: McGraw-Hill. pp. 11:152–54. ISBN 0-07-142867-4.
Sidi, M.J. "Spacecraft Dynamics & Control. Cambridge, 1997.
Thomson, W.T. "Introduction to Space Dynamics." Dover, 1961.
Wertz, J.R. "Spacecraft Attitude Determination and Control." Kluwer, 1978.
Wiesel, W.E. "Spaceflight Dynamics." McGraw-Hill, 1997.