Ходьба, катание и дальше: принципы и обучение с подкреплением для локомоции робота, вдохновленного TARS
Робототехнические исследования локомоции обычно опираются на биологически вдохновленные конструкции ног, однако многие созданные человеком среды могут извлечь пользу из неантропоморфных форм. TARS3D переводит блочную форму робота TARS из фильма "Интерстеллар" в исследовательскую платформу размером 0,25 м и весом 0,99 кг с семью приводными степенями свободы. В фильме показаны два основных типа ходьбы: походка, похожая на двуногую, и режим быстрого катания. Для TARS3D мы построили уменьшенные модели для каждого из них, вывели аналитические условия циклов предела и проверили прогнозы на аппаратуре. Эксперименты подтвердили, что робот соблюдает пределы ±150° в тазобедренных суставах, чередует контакты левой и правой сторон без помех и поддерживает восьмиступенчатый гибридный цикл предела при катании. Поскольку каждая телескопическая нога обеспечивает четыре угла контакта, режим катания моделируется как двойное безободочное колесо с восемью спицами. Избыточность телескопических ног робота подразумевает гораздо более богатый репертуар ходьбы, чем два аналитически рассмотренных цикла предела. Поэтому мы использовали глубокое обучение с подкреплением (DRL) в симуляции для поиска непроявленного пространства. Мы обнаружили, что выученная политика может восстанавливать аналитические ходьбы при правильных априорных знаниях и открывать новые поведения. Наши результаты показывают, что биотрансцендентная морфология TARS3D, вдохновленная фантастикой, может реализовать множество ранее неизведанных режимов локомоции, и дальнейший поиск с использованием обучения, вероятно, откроет еще больше. Это сочетание аналитического синтеза и обучения с подкреплением открывает перспективный путь для многорежимной робототехники.
I. Введение
I-A. Фон и мотивация
Исследования роботизированной локомоции давно опираются на биологические архетипы, такие как двуногие [1], четвероногие [2] и шестиногие [3]. Динамические контроллеры для платформ, таких как ANYmal [4] и BigDog [2], обеспечили адаптацию к местности [5], подтверждая полезность биоинспирированных конструкций. Однако эти формы не всегда оптимальны для созданных человеком сред. Промышленные манипуляторы, роботы для уборки и складские шаттлы достигают высокой эффективности за счет использования специфических для задачи геометрий [6]. Недавние работы исследовали биотрансцендентные роботы, конструкции, которые выходят за рамки животной морфологии, чтобы преодолеть ограничения подвижности [7]. Научная фантастика часто предлагает такие альтернативы, бросая вызов предположениям о необходимости антропоморфизма. Это мотивирует поиск форм, выходящих за рамки традиционных животных аналогов, к формам, существующим только в фантастике.
I-B. Научная фантастика как движущая сила инноваций в робототехнике
Концепции из фантастики вдохновили практических роботов. Свободно летающий аппарат ISS Astrobee адаптирует концепцию кинематографического тренажера для выполнения задач по обслуживанию [8], а Ringbot UIUC черпает вдохновение из морфологии колеса-бицикла для гибкой доставки на последнем этапе [9]. Эти примеры показывают, что нестандартные формы могут давать функциональные решения. Заметным примером является TARS из "Интерстеллара" [10], который демонстрирует два основных режима локомоции (Рис. 1): походку, похожую на двуногую, с синхронным движением внутренних и внешних ног, и режим катания, при котором ноги переконфигурируются в безободочное колесо для высокоскоростного передвижения. Простая, но кинематически избыточная морфология может поддерживать множество различных ходьб, открывая возможности для изучения принципов конструкции, оптимизации стратегий локомоции и расширения операционного диапазона мобильных роботов. Чтобы исследовать эти возможности в реальных условиях, мы разработали TARS3D, физическую платформу, которая переводит кинематографическую морфологию TARS в экспериментально проверенную и реконфигурируемую роботов, способную к двуногой и катящейся локомоции.
I-C. Исследование пространства конструкции за пределами антропоцентризма
Мы аналитически вывели два кинематографических режима ходьбы, двуногую походку и катание, используя замкнутые формы механики для определения условий циклов предела. Чтобы найти дополнительные режимы, мы обучили агента PPO [11] в NVIDIA IsaacLab [12]. Катание требовало структурных априорных знаний. Фиксация внешних тазобедренных суставов на ±150° позволила политике воспроизвести аналитический режим безободочного колеса, демонстрируя, как аналитические модели могут направлять обучение с подкреплением к высокосимметричным движениям, а обучение с подкреплением открывает новые поведения. Предыдущие работы показывают, что оптимизация может производить нестандартные, но эффективные морфологии, от "инопланетных" роботов [13] до высокопроизводительных мягкотелых конструкций [14]. Качество-разнообразие [15] и самомоделирование [16] также подчеркивают производительность задачи над морфологической знакомостью. TARS3D следует этому принципу, сочетая аналитически проверенные ходьбы/катание с поведениями, открытymi с помощью обучения с подкреплением, в непроявленном пространстве конструкции.
I-D. Вклады
Эта работа вносит четыре основных вклада:
• TARS3D: аддитивно изготовленная платформа, объединяющая походку, похожую на двуногую, и катящуюся ходьбу в одной конструкции
• Аналитический синтез ходьбы: уменьшенные модели и анализ стабильности для двух кинематографических режимов
• Поиск и адаптация ходьбы с помощью обучения с подкреплением: политика PPO, воспроизводящая ходьбу и катание, открывающая новые режимы и поддерживающая стабильное катание на неровной местности до определенной неопределенности
• Расширение пространства конструкции: демонстрация того, что морфологии, вдохновленные фантастикой, неантропоморфные, дополненные аналитическими и обучающими методами, могут расширить стратегии локомоции
II. Конструкция системы
Чтобы перевести кинематографическую концепцию в функциональную исследовательскую платформу, мы разработали TARS3D, аддитивно изготовленного, самоконфигурируемого робота, реализующего морфологию TARS из "Интерстеллара". Робот имеет восемь приводных степеней свободы: четыре вращения тазобедренных суставов (три активных, один пассивный/свободно вращающийся) и четыре пристенные протяжения ног, контролирующие длину ноги (Рис. 2а). Платформа высотой 0,248 м и весом 0,99 кг использует несущие звенья из ПЛА, напечатанные методом экструзии расплавленной нити, с исполнительными механизмами, расположенными для высокой плотности мощности в компактном объеме. В отличие от предыдущих реплик, ориентированных на взаимодействие человека и робота и базовую походку, TARS3D может (i) переконфигурироваться в топологию безободочного колеса для катания и (ii) выполнять как вертикальную походку, так и катящуюся ходьбу с помощью аналитически выведенных, экспериментально проверенных контроллеров. Каждая нога TARS3D приводится в действие роботизированным исполнительным механизмом Robotis Dynamixel 2XL430-W250 с двумя независимо адресуемыми, обратимо приводимыми осями и 12-битными магнитными энкодерами (разрешение 0,088°). Все суставы управляются в режиме позиционного управления с использованием внутреннего цикла ПИД исполнительного механизма на частоте 100 Гц через шину TTL полудуплекса. Плоские стопы из фильма были нестабильны для катания, поскольку угловой момент теряется при первом ударе пятки. Поэтому мы используем изогнутые подошвы с дугой (радиус ), что обсуждается далее в разделе III-B. Две оси Dynamixel (Рис. 2б) используются для:
• Вращения тазобедренного сустава: сагиттальное движение для фазирования ходьбы и переконфигурации
• Телескопической голени: механизм шестерни-рейки изменяет длину от до при для обеспечения очистки свисающей ноги и изменений центра тяжести во время катания. Исполнительные механизмы соединены в цепочку через шину TTL полудуплекса. Питание и данные подаются через трехканальный скользящий контакт на медиолатеральной оси, позволяя вращаться на 360° без скручивания кабеля. Будущие беспроводные версии будут использовать распределенные элементы Li-Po в ногах для достижения сбалансированной массы.
III. Аналитические режимы локомоции: двуногая походка и катание
В "Интерстелларе" TARS демонстрирует два различных режима ходьбы, двуногую походку и катание. Сначала мы аналитически смоделировали эти режимы, выведя замкнутые формы условий циклов предела для оценки их осуществимости на TARS3D. Поскольку пространство действий робота намного больше, мы позже использовали обучение с подкреплением для поиска дополнительных ходьб. Начнем с двуногой походки.
III-A. Модель двуногой походки
Двуногая походка TARS3D следует канонической последовательности пассивной изогнутой походки [17, 18, 19]:
1. Стойка/протяжение внешней ноги: Качается на изогнутой подошве, поднимая центр масс (ЦМ) (Рис. 4а)
2. Свинг внутренней ноги: Повышенный ЦМ позволяет выполнять недоамплированный свинг без царапания (Рис. 4б)
3. Стойка/протяжение внутренней ноги: Удар пятки запускает протяжение ноги, поднимая ЦМ для очистки внешней ноги (Рис. 4в)
4. Свинг внешней ноги: Завершает цикл, перемещая внешние ноги вперед (Рис. 4г)
На виртуальном склоне с углом гравитационная работа компенсирует потери при столкновении. На ровной поверхности эта энергия заменяется кратковременным импульсом протяжения ноги в стойке [20]. Моделируя каждую сагиттальную плоскость как безободочное колесо-компас [21], баланс энергии шаг за шагом дает:
| | | | | (1)
| с предударной скоростью ЦМ и углом удара пятки. Определяет семейство циклов предела [19]. Параметры аппаратуры, настроенные через численное продолжение самой простой модели ходьбы [17], были нацелены на шаг длиной мм при скорости м/с. Результаты подтверждают, что изогнутые ноги и минимальная актуация естественным образом расширяются до морфологии TARS, производя стабильную двуногую походку, необходимую предварительное условие для более агрессивного режима катания в разделе III-B.
III-B. Модель катящейся ходьбы (формулировка безободочного колеса)
Вдохновленная эффективной пассивной ходьбой классических безободочных колес [22, 23], TARS3D переконфигурирует свои четыре телескопические ноги в двойное безободочное колесо (Рис. 5д). Каждая дуговая подошва ноги () дает четыре равномерно расположенных контакта (Рис. 5а), поэтому одна нога действует как четыре спицы. Сопряжение левых ног на () образует левое колесо с восемью спицами () (Рис. 5б), зеркально отраженное справа (Рис. 5в), а тазобедренный сустав между ними устанавливает фазу и обеспечивает угловую скорость, необходимую для выполнения условия свода. Катание чередует контакт стойки левой и правой сторон, каждое колесо продвигается на квадрант, пока другое переходит в новое положение. Перемещение тазобедренного сустава ограничено ±150°, что значительно ниже неограниченного вращения ранее известных бегунов на безободочных колесах [24], поэтому две пассивные циклы соединяются в восьмиступенчатый гибридный цикл предела, который завершает один поворот корпуса за восемь контактов с землей. Сразу перед ударом пятки стойка нога кратковременно вытягивается, смещая ЦМ вперед и вводя угловой импульс для компенсации потерь при столкновении и поддержания . Затем спицы возобновляют пассивное движение инвертированного маятника до следующего контакта, сохраняя эффективность классических безободочных колес с низкой пропускной способностью контроллера, почти баллистическим режимом стойки и благоприятной экономией энергии, обеспечивая высокоскоростное движение с суставами, которые не могут вращаться бесконечно.
Динамика и осуществимость
При условии неупругих, бесскользящих ударов активное колесо ведет себя как инвертированный маятник.
| | | | | (2)
где измеряется вертикально. ЦМ пассивно поднимается с до , преобразуя потенциальную энергию в кинетическую. При ударе сохранение углового момента относительно новой точки контакта дает:
| | | | | (3)
так что каждый удар рассеивает фиксированную долю скорости. Для осуществимости шага:
| | | | | (4)
Для компенсации потерь телескопический сустав вводит угловой импульс :
| | | | | (5)
Сочетание с картой столкновения дает:
| | | | | (6)
В стационарном состоянии:
| | | | | (7)
Из углового момента , необходимый импульс протяжения ноги вычисляется как , который для параметров аппаратуры ( кг, м) и измеренной предударной угловой скорости рад/с дает мм. Это соответствует возможности телескопического актуатора, который может вытягиваться со скоростью мм/с, подразумевая временное окно актуации мс. При , модель предсказывает стоимость транспортировки (CoT) как:
Применяя момент двигателя между левым и правым безободочными колесами (для преодоления предела скорости в (4)) и импульсы стойки, TARS3D достиг режима катания (Рис. 7). Аналитическая модель предполагает идеально неупругие, бесскользящие удары. Однако на аппаратуре кратковременный микроскольжение при ударе (1-3 мм на контакт, оцененное по высокоскоростному видео) слегка изменяет время контакта, но не нарушает восьмиступенчатый цикл. Будущая работа будет решать микроскольжение, включая модель трения между ногой и землей в симуляции, дополненную высокотрением подошвами и текстурированным полом на аппаратуре. На ровной поверхности TARS3D достигает скорости м/с и , что сопоставимо с лучшими результатами бегунов на безободочных колесах [24], но без непрерывного вращения оси. Эти результаты подтверждают, что суставы с ограниченным диапазоном, в сочетании со смещением ЦМ, могут обеспечить эффективное, высокоскоростное катание. Уравнения здесь следуют каноническому анализу безободочного колеса [23] с добавленным механизмом смещения ЦМ, уникальным для TARS3D.
IV. Исследование альтернативных ходьб с помощью обучения с подкреплением
Глубокое обучение с подкреплением (DRL) показало хорошие результаты в роботизированной локомоции [25], позволяя открывать ловкие ходьбы с минимальным ручным проектированием [26]. Учитывая морфологию TARS3D с 8 степенями свободы и множественными ногами, мы предполагаем существование жизнеспособных ходьб за пределами двух аналитических режимов. Поэтому мы применяем DRL, в сочетании с аналитическими априорными знаниями, для исследования этого пространства.
IV-A. Настройка и обучение
Мы симулируем TARS3D в NVIDIA IsaacLab [12], расширяя базовый класс LocomotionEnv, используемый для задач гуманоидов и четвероногих. Награда объединяет прогресс вперед (пропорционально скорости вдоль желаемого направления), бонус за вертикальное положение для поддержания стабильности и штрафы за энергопотребление, величину действия и нарушения пределов суставов. Обучение использует PPO [11], алгоритм с подкреплением для непрерывного управления. Сеть политики представляет собой трехслойный MLP ([400, 200, 100] ELU), работающий с сырыми проприоцептивными состояниями (положения суставов, линейные/угловые скорости и связанные сигналы), выдающий прямые команды положения суставов для обхода нижнего уровня управления моментом. Дополнительные проектные решения включают адаптивный планировщик скорости обучения на основе разности Кульбака-Лейблера для стабильности и слегка повышенный бонус энтропии для содействия исследованию. Параллельная симуляция на GPU в IsaacLab (2048 окружений) позволяет обучать политику менее чем за 15 минут на ноутбуке с GPU RTX 3070 и 8 ГБ видеопамяти.
IV-B. Результаты обучения
Следующий раздел представляет анализ поведения центра масс (ЦМ). Мы описываем ходьбы, возникшие во время обучения, а также заметные случаи неудач.
1. Используя функцию награды и настройку, описанные ранее, агент научился двуногой походке (Рис. 8а), отличной от аналитической версии: внутренние ноги в основном парят для баланса, а внешние ноги выполняют шаги.
2. Когда целевое направление было смещено относительно начальной ориентации, агент произвел асимметричную походку (Рис. 8б), сохраняя одну сторону в основном вертикальной, а другую колеблющейся.
3. Чтобы стимулировать катание, мы добавили награду за угловую скорость и зафиксировали внешние поворотные суставы на ±150° для формирования безободочного колеса. Это привело к успешному катанию (Рис. 8в), тесно соответствующему аналитическому решению.
IV-C. Адаптация к местности
Мы оценили устойчивость политики на неровной местности с помощью TerrainGenerator в Isaac. Были протестированы два варианта: (а) обучение непосредственно на рандомизированной местности, что последовательно сходилось к походке, а не к катанию, и (б) перенос политики катания с ровной поверхности на рандомизированную местность. Последний вариант успешно работал до умеренной неопределенности, но ухудшался при больших возмущениях (Таблица I).
| Неопределенность | Относительно | Успешность |
|—|—|—|
| 1,0 см | 0,16 | Стабильное катание |
| 1,25–1,5 см | 0,20–0,25 | 25% |
| 1,5 см | 0,25 | Неудача |
Катание оказалось высокочувствительным к вариациям местности, в то время как походка оставалась надежным резервным вариантом. Увеличение неопределенности также вызывало систематическое отклонение направления, вероятно, из-за возмущенного размещения ног, которое перенаправляло силы контакта в моменты поворота. Аналогичные эффекты поворота, вызванные размещением ног, хорошо известны в системах бега [27]. Наши результаты DRL расширяют этот принцип на катящуюся локомоцию, предполагая, что награды, учитывающие размещение ног, или корректирующая обратная связь могут улучшить устойчивость на неровной местности. Рис. 9 иллюстрирует робота, выполняющего катящуюся ходьбу на рандомизированной местности с возмущениями , режим, в котором стабильное катание постоянно поддерживалось.
V. Обсуждение
V-A. Множественные ходьбы из неантропоморфной морфологии
Наши результаты показывают, что простая неантропоморфная морфология может реализовать множество фундаментально различных ходьб. Минимально актуированная походка с изогнутой стопой (Раздел III-A) воспроизводит походку, похожую на двуногую, из "Интерстеллара", а модель двойного безободочного колеса (Раздел III-B) предсказывает замкнутые формы циклов предела, которые тесно соответствуют режиму катания на аппаратуре. В обоих случаях TARS3D соблюдает пределы тазобедренных суставов, чередует левый-правый контакты без помех и поддерживает гибридный цикл катания (Рис. 7).
V-B. Роль обучения с подкреплением в открытии ходьб
Обучение с подкреплением дополняет этот подход первого принципа, исследуя дополнительные области пространства ходьб. При низких целевых скоростях (м/с) PPO открыл новые поведения, такие как диагональная рысь и "прыжок лягушки", отсутствующие в наших аналитических моделях. Однако для сложных движений, таких как катание, обучение не удалось без сильных априорных знаний, даже с обширной настройкой награды. Добавление структурных априорных знаний, ограничений суставов, морфирования позы и формирования чередования контактов привело политику к сходимости к аналитическому режиму катания, достигая скорости м/с и .
V-C. Сравнение открытой и аналитической ходьбы катания
Сравнение траекторий ЦМ открытой ходьбы катания с помощью DRL с аналитической моделью (Рис. 10) показывает близкое совпадение, подтверждая, что открытая политика воспроизводит как общий шаблон, так и низкоуровневые кинематические ограничения. Это подтверждает аналитическую модель и подчеркивает ценность встраивания моделей, основанных на принципах, в обучение.
V-D. Предлагаемый рабочий процесс для многорежимной локомоции
В целом, эти результаты предполагают обобщаемый рабочий процесс для исследований многорежимной локомоции: (1) выводить интерпретируемые начальными решения через уменьшенные модели и (2) использовать методы, основанные на данных, руководимые этими начальными решениями, для исследования более высокоразмерных пространств управления. TARS3D демонстрирует, что биотрансцендентные морфологии, вдохновленные фантастикой, могут проверить кинематографические ходьбы и раскрыть поведения за пределами обычных двуногих или четвероногих [13, 14].
V-E. Ограничения и будущая работа
Текущий прототип подключен по кабелю и протестирован только на ровной поверхности, с ограниченной оптимизацией для скорости и энергетической эффективности, а также ограниченным разнообразием местности или покрытием симуляция-реальность для открытых ходьб. Будущая работа будет сосредоточена на беспроводной работе с бортовым питанием и связью, устойчивом переключении режимов между походкой и катанием, адаптации к неструктурированным или упругим поверхностям, более широком тестировании местности и возмущений, а также количественном энергетическом анализе. Более богатые априорные знания, такие как демонстрации человека или захват движения, могут еще больше ускорить обучение сложных поведений. Для окончательного развертывания выходные данные политики DRL можно напрямую сопоставить с командами положения Dynamixel через тот же интерфейс ПИД, используемый для аналитических ходьб, позволяя повторно использовать существующий стек управления и связи. Оценка базовой скорости для входных данных политики может быть получена из бортового ИМУ, объединенного с одометрией ног через комплементарный фильтр для смягчения дрейфа. Такое датирование пока не интегрировано в текущем подключенном прототипе.
V-F. Резюме
Эта работа переводит кинематографическую морфологию TARS в функциональную исследовательскую платформу, демонстрируя, как аналитические модели и обучение с подкреплением могут совместно обеспечить многорежимную, неантропоморфную локомоцию. Изогнутая походка и восьмиспицевое катание были выведены в замкнутой форме и проверены на аппаратуре, а политика PPO с априорными знаниями воспроизвела катание и открыла новые ходьбы на низких скоростях. Эти результаты подчеркивают морфологию, вдохновленную фантастикой, как жизнеспособный путь к расширению стратегий локомоции за пределы биомимикрии.
Ссылки
[1] S. H. Collins, A. Ruina, R. Tedrake, and M. Wisse, “Efficient bipedal robots based on passive-dynamic walkers,” Science, vol. 307, no. 5712, pp. 1082–1085, 2005.
[2] M. Raibert et al., “Bigdog, the rough-terrain quadruped robot,” International Journal of Robotics Research, vol. 27, no. 3–4, pp. 339–353, 2008.
[3] U. Saranli, M. Buehler, and D. E. Koditschek, “Rhex: A simple and highly mobile hexapod robot,” International Journal of Robotics Research, vol. 20, no. 7, pp. 616–631, 2001.
[4] M. Hutter et al., “Anymal—a highly mobile and dynamic quadrupedal robot,” IEEE Robotics and Automation Letters, vol. 2, no. 4, pp. 2201–2208, 2017.
[5] A. Kumar and G. Dudek, “Terrain-adaptive reconfigurable robots,” International Journal of Robotics Research, vol. 40, no. 8–9, pp. 927–943, 2021.
[6] R. Udell, “Breaking free from anthropomorphism: Purpose-first robot design,” Robotics Today, 2022.
[7] J. Kim, “Bio-transcending robots: Beyond animal morphology,” Ph.D. dissertation, University of Illinois at Urbana–Champaign, 2023.
[8] M. Bualat et al., “Astrobee: A free-flying robot for the international space station,” in Proc. IEEE Aerospace Conf., 2019.
[9] A. Chakravarthy and K. Sreenath, “Ringbot: A leg–wheel hybrid robot for dense urban mobility,” IEEE Robotics and Automation Letters, 2024.
[10] C. D. Nolan, N. P. D. Crowley, and S. P. E. S. Fisher, “Interstellar [motion picture],” Warner Bros. Pictures, Legendary Pictures, Syncopy, 2014, tARS robot character © 2014 Warner Bros. Entertainment Inc. All rights reserved.
[11] J. Schulman, F. Wolski, P. Dhariwal, A. Radford, and O. Klimov, “Proximal policy optimization algorithms,” 2017. [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/1707.06347
[12] M. Mittal, C. Yu, Q. Yu, J. Liu, N. Rudin, D. Hoeller, J. L. Yuan, R. Singh, Y. Guo, H. Mazhar, A. Mandlekar, B. Babich, G. State, M. Hutter, and A. Garg, “Orbit: A unified simulation framework for interactive robot learning environments,” IEEE Robotics and Automation Letters, vol. 8, no. 6, pp. 3740–3747, 2023.
[13] H. Lipson and J. B. Pollack, “Automatic design and manufacture of robotic lifeforms,” Nature, vol. 406, pp. 974–978, 2000.
[14] N. Cheney, J. Clune, H. Lipson, and J. C. Bongard, “Unshackling evolution: Evolving soft robots with multiple materials,” Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 111, pp. 3228–3233, 2014.
[15] A. Cully, J. Clune, D. Tarapore, and J.-B. Mouret, “Robots that can adapt like animals,” Nature, vol. 521, pp. 503–507, 2015.
[16] J. C. Bongard, V. Zykov, and H. Lipson, “Resilient machines through continuous self-modeling,” Science, vol. 314, pp. 1118–1121, 2006.
[17] M. Garcia, A. Ruina, M. Coleman, and A. Chou, “The simplest walking model: Stability, complexity, and scaling,” Journal of Biomechanical Engineering, vol. 120, no. 2, pp. 281–288, 1998.
[18] A. Goswami, B. Thuilot, and B. Espiau, “Compass-like biped robot: Symmetry and chaos in passive gait,” International Journal of Robotics Research, vol. 17, no. 12, pp. 1282–1301, 1998.
[19] E. R. Westervelt, J. W. Grizzle, C. Chevallereau, and B. Morris, “Feedback controllers for rapid stabilization of periodic orbits in bipedal locomotion,” IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 48, no. 12, pp. 2153–2167, 2003.
[20] F. Asano and Z.-W. Luo, “Biped gait generation and control based on a 3-d extender passive dynamic walking model,” IEEE Transactions on Robotics, vol. 24, no. 5, pp. 1234–1246, 2008.
[21] A. D. Kuo, “Energetics of actively powered locomotion using the simplest walking model,” Journal of Biomechanical Engineering, vol. 124, no. 1, pp. 113–120, 2002.
[22] T. McGeer, “Passive dynamic walking,” International Journal of Robotics Research, vol. 9, no. 2, pp. 62–82, 1990.
[23] K. Byl and D. E. Koditschek, “Mule: Stable, compliant rolling rimless-wheel robots,” in Proc. 11th Int. Conf. on Climbing and Walking Robots, 2008, pp. 17–24.
[24] P. A. Bhounsule, M. Zambelli, A. Ruina et al., “Low-cost, record-setting robotic walking with Ranger,” Science Robotics, vol. 9, 2014, article #e2014-09.
[25] J. Hwangbo, J. Lee, A. Dosovitskiy, C. D. Bellicoso, V. Tsounis, V. Koltun, and M. Hutter, “Learning agile and dynamic motor skills for legged robots,” Science Robotics, vol. 4, no. 26, p. eaau5872, 2019.
[26] Z. Li, X. B. Peng, P. Abbeel, S. Levine, G. Berseth, and K. Sreenath, “Reinforcement learning for versatile, dynamic, and robust bipedal locomotion control,” 2024. [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/2401.16889
[27] A. Sripada and H. Geyer, “Turning behavior of running systems induced by leg placement,” Master’s Thesis, Carnegie Mellon University, The Robotics Institute, 2021. [Online]. Available: https://www.ri.cmu.edu/app/uploads/2021/08/asripada_ri_msr_thesis_2021-CMU-RI-TR-21-54.pdf