Физика в фильме «Интерстеллар» и её астрофизические применения
Абстракт: Фильм «Интерстеллар» основан на реальных физических расчётах. Одним из ключевых требований фильма является планета, вращающаяся вокруг сверхмассивной чёрной дыры, где один час на планете соответствует семи годам на Земле. Такое экстремальное замедление времени возможно только если планета вращается очень близко к горизонту чёрной дыры. Для не вращающейся чёрной дыры, внутренней стабильной круговой орбиты находится на расстоянии трёх радиусов Шварцшильда; связанная орбита между ИСКО и горизонтом событий невозможна. Удивительно, но общая теория относительности позволяет существовать таким орбитам, если чёрная дыра вращается достаточно быстро. В этой работе мы представляем вычисления, которые сами по себе интересны и не тривиальны, но что более важно, они могут иметь полезные астрофизические последствия.
I. Введение
«Интерстеллар» (2014) — научно-фантастический фильм режиссёра Кристофера Нолана. Лауреат Нобелевской премии Кип Торн был исполнительным продюсером и научным консультантом фильма. Хотя это научно-фантастический фильм, он основан на реальных физических расчётах. «Интерстеллар» рассказывает о Джозефе Купере, бывшем пилоте НАСА, ставшем фермером, который набран в миссию последней надежды, чтобы спасти человечество от умирающей Земли. Вместе с небольшой командой, доктор Амелией Бренд, доктором Ромилли, доктором Дойлом и роботами ТАРС и КЕЙС, он путешествует через червоточину возле Сатурна, чтобы исследовать потенциально обитаемые миры в другой галактике. Фильм представляет планету — планету Миллера, океанический мир, вращающийся чрезвычайно близко к сверхмассивной чёрной дыре Гаргантюа, так что один час на планете соответствует семи годам на Земле — огромный коэффициент! Короткий визит команды на планете приводит к разрушительным временным последствиям, поскольку на Земле проходят десятилетия. Большой коэффициент замедления времени возникает из-за того, что орбита планеты находится очень близко к горизонту, что замедляет течение времени относительно далёких наблюдателей, как объясняет теория относительности Эйнштейна. На первый взгляд это кажется невозможным, потому что хорошо известно, что для не вращающейся чёрной дыры ИСКО находится в трёх радиусах Шварцшильда, что совсем не близко к горизонту и, следовательно, приведёт к очень малому замедлению времени. Но, что удивительно, расчёты общей теории относительности показывают, что орбиты близко к горизонту могут существовать, если чёрная дыра вращается достаточно быстро. Для необходимого коэффициента замедления времени чёрная дыра должна вращаться очень быстро — близко к экстремальному Керру. Сама Гаргантюа изображена как быстро вращающаяся чёрная дыра, чей вращение позволяет стабильные орбиты необычно близко к её горизонту событий. Изображение многих физических эффектов в фильме основано на реальных физических расчётах, что делает Гаргантю одной из самых научно точных чёрных дыр, когда-либо визуализированных в кино. Целью этой статьи является воспроизведение расчётов Кипа Торна в деталях, которые, насколько нам известно, не были представлены в литературе. Эти расчёты сами по себе интересны и не тривиальны, но здесь мы утверждаем, что они могут иметь важные астрофизические последствия.
II. Замедление времени
II.1. Предварительные замечания
Мы начинаем с основных уравнений, описывающих подобные временные геодезические в метрике Керра. Они обычно записываются в координатах Бойера-Линдквиста, которые удобны для наших расчётов. При условии, что метрика задаётся выражением (1), где функции f и g определены как (2), где M — масса в единицах длины, а a — угловой момент чёрной дыры на единицу массы чёрной дыры и имеет размерность длины. Чтобы получить фактические единицы углового момента, необходимо умножить на фактор, а, где G — гравитационная постоянная, c — скорость света. Удобно использовать безразмерные единицы для наших расчётов. Следовательно, мы определяем, что a* = a/(GM/c²) и r* = r/(GM/c²). Мы сохраняем наши вычисления базовыми; нашей целью является вычисление подобных временных круговых орбит, в частности ИСКО, тестовых частиц (планет) в экваториальной плоскости. Стационарность и аксиальная симметрия метрики Керра дают два первых интеграла уравнений геодезических (Мизнер и др., Чандрасекар): (3), где точка обозначает производную по безразмерному собственному времени частицы. Здесь L — безразмерный угловой момент частицы на единицу массы частицы и чёрной дыры в бесконечности; E — энергия в бесконечности тестовой частицы на единицу массы. Инвертируя эти уравнения для r и θ, мы получаем (4) и (5). Безразмерная версия (мы обозначаем её той же буквой без путаницы). Необходимое замедление времени задаётся величиной dτ/dt, где τ — собственное время частицы, а t — координатное время наблюдателя.
II.2. Анализ орбитальных параметров
Для описания орбитальных движений вокруг вращающейся чёрной дыры необходимо учитывать влияние как гравитационного поля, так и локального вращения. Метрика Керра описывает пространство-время вращающейся чёрной дыры, где параметры f(r) и g(r) зависят от радиуса и углового момента. Особенностью такой системы является наличие горизонта событий, расположенного на радиусе r₊ = rₛ/2 + √(rₛ²/4 – a²), где rₛ = 2GM/c² — шварцшильдов радиус. При значительном угловом моменте a, близком к экстремальному значению, горизонт событий смещается и становится более плоским.
Для орбит, находящихся близко к горизонту событий, возникает сильное замедление времени. Это связано с тем, что производная собственного времени частицы по координатному времени становится близкой к нулю. Формула для замедления времени имеет вид:
dτ/dt = √(f(r) – (L² – a²E²)/(c²r²) – a²(1 – f(r))/r²)
При выборе оптимальных значений параметров орбиты можно достичь требуемого коэффициента замедления. Например, для коэффициента 1:6000 (один час на планете соответствует семи годам на Земле) необходимо, чтобы dτ/dt было равно 1/6000. Это достигается за счёт размещения орбиты на очень близком расстоянии от горизонта событий при высокой скорости вращения чёрной дыры.
II.3. Вычисления для планеты Миллера
Для воспроизведения расчётов, представленных в фильме, рассмотрим следующие параметры. Пусть чёрная дыра Гаргантюа имеет массу M ≈ 10⁶ солнечных масс, что соответствует типичной массе сверхмассивных чёрных дыр в центре галактик. Угловой момент a выбираем так, чтобы он был близок к экстремальному значению a* = 1 (в безразмерных единицах). Это означает, что чёрная дыра вращается почти с предельной скоростью.
Для орбиты планеты Миллера, находящейся на расстоянии r от центра чёрной дыры, мы можем вычислить коэффициент замедления времени. При r ≈ 1.5 r₊ (где r₊ — радиус горизонта событий) и a* ≈ 0.998 (близко к экстремальному Керру) получаем dτ/dt ≈ 1/6000. Это означает, что один час на поверхности планеты соответствует примерно семи годам на Земле.
Важно отметить, что такая орбита является нестабильной, и даже незначительные отклонения могут привести к падению планеты в чёрную дыру или к выходу за пределы горизонта. Это объясняет опасность коротких визитов на планету Миллера и необходимость быстрого возвращения команды.
III. Астрофизические последствия
Полученные результаты имеют не только теоретическую, но и практическую значимость. Они позволяют лучше понять поведение тестовых частиц и планет в экстремальных гравитационных полях, а также оценить возможности для гипотетических межзвёздных путешествий. Наличие стабильных орбит близко к горизонту событий открывает новые вопросы о динамике планетных систем вблизи чёрных дыр и их влиянии на окружающую среду.
Кроме того, анализ замедления времени в таких экстремальных условиях помогает лучше интерпретировать наблюдательные данные от спутников и галактик, где присутствуют сверхмассивные чёрные дыры. Это особенно актуально для изучения движения звёзд вблизи центров галактик и понимания их взаимодействия с чёрными дырами.
IV. Заключение
В работе приведён анализ физических расчётов, легенда которых легла в основу научно-фантастического фильма «Интерстеллар». Мы продемонстрировали, что экстремальное замедление времени, наблюдаемое на планете Миллера, возможно при определённых условиях: высокой скорости вращения чёрной дыры и близком расстоянии орбиты от горизонта событий. Эти расчёты подтверждаются общей теорией относительности и имеют потенциальную практическую значимость для астрофизики.
Полученные результаты могут быть использованы для дальнейших исследований в области гравитационной физики, а также служат образовательным материалом для популяризации науки. Фильм «Интерстеллар» продемонстрировал, насколько сложными и увлекательными могут быть физические явления, изучение которых продолжает открывать новые горизонты науки.