Астрофизические приложения физики, представленной в фильме “Интерстеллар”.
Астрофизические приложения физики, представленной в фильме “Интерстеллар”. Аннотация. Фильм “Интерстеллар” основан на реальных физических расчетах. Одним из ключевых требований фильма является наличие планеты, вращающейся вокруг сверхмассивной черной дыры так, что один час на планете соответствует семи годам на Земле. Такое экстремальное замедление времени возможно только если планета вращается очень близко к горизонту черной дыры. Для не-вращающейся (Шварцшильдовской) черной дыры, внутренняя стабильная круговая орбита (ИСКО) находится на расстоянии трех радиусов Шварцшильда; связанная орбита между ИСКО и горизонтом событий невозможна. Удивительно, но общая теория относительности позволяет существовать таким орбитам, если черная дыра вращается быстро. В этой работе мы представляем расчеты, которые сами по себе не тривиальны и интересны, но что более важно, они могут иметь полезные астрофизические последствия. pacs 04.80.Nn, 95.55.Ym, 07.60.Ly
I Введение
“Интерстеллар” – научно-фантастический фильм (2014) режиссера Кристофера Нолана. Лауреат Нобелевской премии Кип Торн был исполнительным продюсером и научным консультантом фильма. Хотя это научно-фантастический фильм, он основан на реальных физических расчетах. “Интерстеллар” рассказывает о Джозефе Купере, бывшем пилоте NASA, ставшем фермером, который набран для последнего шанса спасти человечество от умирающей Земли. Вместе с небольшой командой, доктором Амилией Бранд, доктором Ромилли, доктором Дойлом и роботами ТАРС и КЕЙС, он путешествует через червоточину возле Сатурна, чтобы исследовать потенциально обитаемые миры в другой галактике. Фильм представляет планету – планету Миллера – океанический мир, вращающийся чрезвычайно близко к сверхмассивной черной дыре Гаргантюа так, что один час на планете соответствует семи годам на Земле – огромный коэффициент! Кратковременный визит команды на планету приводит к разрушительным временным последствиям, поскольку на Земле проходят десятилетия. Большой коэффициент замедления времени возникает из-за того, что орбита планеты находится очень близко к горизонту, что замедляет течение времени относительно далеких наблюдателей, как объясняет теория относительности Эйнштейна. На первый взгляд это кажется невозможным, потому что хорошо известно, что для не-вращающейся черной дыры ИСКО находится в трех радиусах Шварцшильда, что совсем не близко к горизонту и, следовательно, приведет к очень малому замедлению времени. Но, что удивительно, расчеты общей теории относительности показывают, что орбиты близко к горизонту могут существовать, если черная дыра вращается достаточно быстро. Для требуемого коэффициента замедления времени черная дыра должна вращаться очень быстро – близко к экстремальному Керру. Сама Гаргантюа изображена как быстро вращающаяся (Керровская) черная дыра, чье вращение позволяет стабильные орбиты необычно близко к ее горизонту событий. Изображение фильмом многих физических эффектов основано на реальных физических расчетах, что делает Гаргантюю одной из самых научно точных черных дыр, визуализированных в кино. Целью этой статьи является воспроизведение расчетов Кипа Торна в деталях, которые, насколько нам известно, не были представлены в литературе. Эти расчеты сами по себе не тривиальны и поучительны, но здесь мы утверждаем, что они могут иметь важные последствия для астрофизики. Мы сначала показываем, что существуют стабильные круговые орбиты, касающиеся горизонта быстро вращающейся черной дыры, которые могут привести к большим коэффициентам замедления времени. Здесь мы представляем подробный расчет с использованием степенных рядов. Мы сравниваем результаты, полученные с помощью степенного ряда, с численно полученными результатами из точного уравнения. Мы далее указываем, как эти расчеты могут привести к интересной астрофизике.
II Замедление времени
II.1 Предварительные замечания
Мы начинаем с основных уравнений, описывающих подобные времени геодезические в метрике Керра. Они обычно записываются в координатах Бойера-Линдквиста, которые удобны для наших расчетов. При установке, метрика задается уравнением (1), где функции и определяются уравнением (2). Здесь – масса в единицах длины, а – угловой момент черной дыры на единицу массы черной дыры и имеет размерность длины. Чтобы получить фактические единицы углового момента, необходимо умножить на фактор, и, где – масса черной дыры. Удобно использовать безразмерные единицы для наших расчетов. Следовательно, мы определяем и. Мы сохраняем наши вычисления базовыми; нашей целью является вычисление подобных времени круговых орбит, в частности ИСКО, тестовых частиц (планет) в экваториальной плоскости. Стационарность и аксиальная симметрия метрики Керра дают два первых интеграла уравнений геодезических (Мизнер и др., Чандрасекар): уравнение (3), где точка над переменной обозначает производную по безразмерному собственному времени частицы. Здесь – безразмерный угловой момент частицы на единицу массы частицы и черной дыры, в бесконечности; в то время как – энергия в бесконечности тестовой частицы на единицу массы. Обращая эти уравнения для и, мы получаем уравнения (4) и (5). Безразмерная версия – это то же самое (мы обозначаем ее тем же символом без причин для путаницы). Требуемое замедление времени определяется величиной.
II.2 Уравнения для ИСКО
Из метрического уравнения (1) и первых интегралов уравнений (4) и (5) мы получаем уравнение для или, что эквивалентно, в экваториальной плоскости. Следуя Чандрасекару, мы устанавливаем и получаем уравнение для: уравнение (6). Чтобы двигаться к нашей цели, мы устанавливаем. Это условие только определяет точки поворота орбиты. Далее, записывая, уравнение (6) принимает вид уравнения (7). Чтобы получить круговые орбиты, нам нужно, что оба. Это эквивалентно дифференцированию уравнения (7) по и установке его равным нулю. Это приводит к уравнению (8). Для получения ИСКО нам нужно дальнейшее дифференцирование уравнения (8) по. Это дает уравнение (9). Из уравнений (7), (8) и (9) мы получаем следующее: уравнение (10). Мы можем, таким образом, сразу решить для и для ИСКО (если оно существует) при, и таким образом получить уравнение (11). Мы можем убедиться, что эти уравнения согласуются с стандартными результатами для случая Шварцшильда. Тогда уравнение (9) дает, что является стандартным результатом. Также соответствующее из уравнения (11) тогда; что снова является стандартным результатом. Однако нам нужны орбиты близко к горизонту, чтобы получить большие коэффициенты замедления времени. Это действительно возможно, как покажут наши расчеты. Увеличение приближает ИСКО к горизонту по сравнению со случаем Шварцшильда. Из уравнения (11) мы можем исключить и из уравнения (9). Это дает уравнение четвертой степени относительно, а именно уравнение (12). Мы рассматриваем экстремальный случай, в котором мы ожидаем ИСКО близко к горизонту событий. Легко проверить, что когда, является решением уравнения (12). Но также является горизонтом для экстремального Керра. Это будет означать бесконечное из уравнения (4), потому что. Поэтому имеет смысл выполнить разложение в степенной ряде вблизи горизонта событий и выбрать. Следовательно, мы записываем и, где. Мы теперь используем уравнение (9), чтобы получить уравнение в, где мы подставляем для из уравнения (11), уравнение (13). В терминах и мы имеем уравнение уравнение (14). Мы решаем это уравнение приближенно для малых значений и. Для этой цели нам нужно выполнить разложение в степенной ряде как по, так и по. Оказывается, что для; нам нужно разложить только до первого порядка по; в то время как для нам нужно сохранить члены до – это ведущий член – более низкие степени членов сокращаются. Окончательный результат: уравнение (15). Последний шаг – вычислить в терминах. Для этого мы снова записываем уравнение (4) в удобной форме уравнение (16) и записываем и в терминах. Нам нужны эти величины только до первого порядка по. Мы легко получаем из уравнения (11), и. Также до необходимого порядка. Подставляя эти выражения в уравнение (16), мы получаем уравнение (17). В “Интерстелларе” один час на планете Миллера соответствует примерно семи годам на Земле из-за замедления времени. Это примерно коэффициент. Используя это значение в уравнении (17), мы получаем. Таким образом, черная дыра Гаргантюа вращается очень быстро; чрезвычайно близко к экстремальному Керру. Ниже мы показываем на рисунке 1 два графика. График сверху показывает в зависимости от, а положение ИСКО можно определить из графика в зависимости от в нижней части. Точки, соответствующие “Интерстеллару”, отмечены жирными точками на обоих графиках.
III За пределами “Интерстеллара”
Расчеты в разделе II имеют последствия для интересной астрофизики. Одним из вопросов, который может возникнуть, является то, будет ли планета Миллера разорвана приливными силами черной дыры. Масса черной дыры Гаргантюа принята очень большой. Это означает, что прямо за горизонтом гравитационное поле довольно слабое, а приливные силы не очень сильные. В работе Луминэ утверждается, что планета остается лишь слегка целой – предел Роша того же порядка, что и размер горизонта черной дыры.
III.1 Точность приближения степенного ряда
Нам необходимо исследовать, насколько точно является приближение, которое мы сделали в уравнении (15). Для этого мы можем решить уравнение (12) численно. Вместо этого, поскольку это ИСКО; это уравнение имеет двойной корень; и поэтому мы берем его производную по и получаем уравнение более низкой степени, а именно кубическое уравнение (18), которое мы можем альтернативно решить численно. Результаты показаны в верхней панели рисунка 2. Из рисунка видно, что точное ИСКО находится дальше от горизонта, чем то, что подразумевает приближение степенного ряда. Когда, разница в радиусах ИСКО, вычисленных двумя методами, меньше 1%.
III.2 Сдвиг частоты фотонов, испускаемых аккреционными дисками
Одним из убедительных астрофизических применений является аккреционные диски вокруг черных дыр. В “Интерстелларе” черная дыра чрезвычайно близка к экстремальному Керру () с. Но в обычных астрофизических сценариях. Для этого в нижней панели рисунка 2 мы строим в зависимости от для всего диапазона, который простирается от Шварцшильда до экстремального Керра. Для справки мы также строим горизонт, чтобы показать, как орбита ИСКО приближается к горизонту по мере увеличения от нуля до единицы. Это имеет важные последствия для сдвига частоты, потому что сдвиг частоты увеличивается, когда орбитирующий материал аккреционного диска приближается к горизонту. Спектральные линии, например, линии Fe (железо), будут демонстрировать расширение, потому что орбиты находятся на разных расстояниях от горизонта. Для быстро вращающейся черной дыры это расширение будет довольно большим, как показывают наши результаты. Расширение спектральных линий можно использовать для оценки вращения черной дыры. Уравнения для нулевых геодезических практически такие же, как уравнения (4) и (5), где теперь собственное время заменяется аффинным параметром, и есть только один параметр, – параметр воздействия, который характеризует нулевые геодезические, вместо двух параметров и, которые характеризуют подобные времени геодезические. Релевантные первые интегралы: уравнение (19). Мы обозначаем волновой вектор как, где – нулевой вектор. Мы рассматриваем геодезические в экваториальной плоскости, поэтому и, поскольку мы будем рассматривать почти экстремальные черные дыры Керра, мы устанавливаем в уравнении. Тогда радиальная компонента удовлетворяет уравнению (20). Чтобы движение было возможно, правая часть приведенного выше уравнения должна быть неотрицательной. Поскольку мы хотим, чтобы фотон, испущенный из аккреционного диска, был наблюдаем асимптотическим наблюдателем; мы должны выбрать в уравнении (20). Или, записывая правую часть этого уравнения в степенях, оно должно удовлетворять уравнению (21). Релевантный корень этого уравнения, когда левая часть уравнения (21) равна нулю, равен. Поскольку мы выберем в качестве радиуса ИСКО, . Чтобы уравнение (21) было удовлетворено, мы должны выбрать. Сдвиг частоты вычисляется по формуле: уравнение (22), где индексы “e” и “o” обозначают величины при испускании и наблюдении. Поскольку мы будем предполагать, что наблюдатель асимптотический и статический, для наблюдателя имеем только, в то время как пространственные компоненты. Также в бесконечности и. Таким образом, знаменатель в уравнении (22) равен единице; только числитель требует оценки, где величины должны быть оценены в ИСКО. Поскольку имеет только и ненулевые, требуются только эти компоненты. Таким образом, уравнение (23). Как видно из приведенного выше уравнения, для ИСКО выражение для сдвига частоты значительно упрощается. Из астрофизических соображений. При заданном мы можем вычислить и в ИСКО из предыдущих уравнений. Предположим, мы выбираем, тогда мы должны выбрать. Предположим, мы выбираем, тогда, в то время как если мы выбираем, фактор сдвига частоты. Причина этого – эффект Доплера; для фотон испускается практически в направлении скорости частицы, в то время как при он испускается радиально, и гравитационный сдвиг частоты доминирует. Ниже, на рисунке 3, мы построили сдвиг частоты в зависимости от для двух значений вращения черной дыры и. Из рисунков видно, что когда близко к, наблюдается чистый синий сдвиг – эффект Доплера доминирует над гравитационным. Давайте теперь перейдем к периоду ИСКО и коэффициенту замедления времени. Коэффициент замедления времени просто, который из уравнения (23) тот же, что и сдвиг частоты для параметра воздействия. Таким образом, для выбранных значений из рисунка 3 коэффициенты замедления времени можно прочитать и равны и соответственно. Для вычисления периода ИСКО нам нужна масса черной дыры. Мы выбираем ее такой же, как у Гаргантюи,. Период ИСКО определяется выражением. Для выбранных значений периоды составляют сек. и сек. соответственно. Эти расчеты имеют последствия для гравитационных волн (ГВ), испускаемых бинарной системой черных дыр с массой звезды, вращающейся вокруг сверхмассивной черной дыры.
IV Заключительные замечания
В этой работе мы представили явные расчеты, относящиеся к коэффициенту замедления времени, который очень велик, как требуется в “Интерстелларе”. Такие большие коэффициенты замедления времени возможны только если орбиты частиц (планет) могут существовать близко к горизонту событий черной дыры. Показано, что такие орбиты действительно существуют, если черная дыра вращается близко к экстремальному Керру. В частности, для коэффициента замедления времени безразмерное вращение черной дыры определяется выражением, и ИСКО касается горизонта событий. Мы также сравнили приближение степенного ряда с численно полученными результатами для радиуса ИСКО. Кроме того, мы выполнили расчеты для сдвига частоты фотонов, испускаемых частицей на ИСКО. Более того, мы утверждаем, что эти расчеты имеют отношение к астрофизике, такой как аккреционные диски и ГВ, испускаемые компактными бинарными системами, вращающимися близко к сверхмассивным черным дырам. Мы подробнее остановимся на этих моментах ниже. Хотя эта работа воспроизводит результаты, полученные в контексте фильма “Интерстеллар”, ее применение может быть полезным в более широких областях астрофизики, особенно тех, которые связаны с явлениями вблизи черных дыр. Например, излучение, испускаемое из аккреционного диска вокруг черных дыр, может значительно сдвигаться в сторону красного вблизи горизонта событий. Профиль наблюдаемых эмиссионных линий, а именно линий железа, становится сверткой распределения интенсивности и сдвига (гравитационного и Доплера) по аккреционным дискам. Тщательные, но очень сложные, расчеты таких линий, хотя и численные, были представлены в литературе. Однако расчеты, представленные в нашей работе, могут предоставить более простой способ получения физических представлений, даже если они не очень точны. Другим таким применением может быть контекст испускаемых ГВ бинарных систем компактных объектов. Весьма возможно, что вокруг сверхмассивных черных дыр в центрах галактик существует более высокая концентрация намного более легких вращающихся или сливающихся бинарных систем. Сигнал ГВ от этих бинарных систем также может сильно сдвигаться в сторону красного, когда они находятся близко к горизонту событий, что может сместить их частоты в более низкую частотную полосу; например, от десятков Гц для бинарной системы с массой звезды, наблюдаемой в полосе LIGO, до децигерцовой полосы; или от децигерцовой полосы для бинарной системы с промежуточной массой черной дыры до мегагерцовой полосы, наблюдаемой LISA. Также различные режимы, такие как w, p и f, испускаемые нейтронными звездами в килогерцовой полосе, будут сдвигаться в чувствительную полосу в диапазоне нескольких сотен Гц современных наземных детекторов ГВ. Масштаб времени, на котором типичная бинарная система черных дыр сливается в наземных детекторах, составляет порядка нескольких секунд, в то время как наши расчеты здесь показывают, что для периоды составляют несколько сотен секунд, так что бинарная система сливается почти на той же фазе орбиты, что относительно упрощает расчет формы сигнала ГВ. Если, с другой стороны, масштаб времени слияния бинарной системы того же порядка, что и период ИСКО, то форма сигнала ГВ будет изменена сложным образом за счет временно-зависимых эффектов Доплера и изменяющейся поляризации. Хотя получение точной формы сигнала в таких ситуациях может быть очень сложным; на основе геометрии и эволюции траектории центра масс бинарной системы вокруг сверхмассивной черной дыры, наши расчеты, таким образом, предоставляют относительно простой способ предсказать, что можно ожидать в таких ситуациях, и стоит ли проводить полномасштабное исследование.
V Благодарности
Эта работа основана частично на диссертации магистра Харлин Дхингра, представленной в колледж Святого Ксавьера, Мумбаи, Индия. SVD хочет поблагодарить Саджала Мукерджи за разъяснение вопроса.
VI Библиография
Ссылки:
[1] Advanced ligo. Class. Quantum Grav. 32, pp. 074001.
[2] Laser interferometer space antenna. ArXiv e-prints.
[3] Towards gravitational wave asteroseismology. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 299 (4), pp. 1059–1068.
[4] The inner edge of the accretion disk around a supermassive black hole. Nature 391 (6665), pp. 54–56.
[5] The mathematical theory of black holes. Oxford University Press, Oxford.
[6] Gravitational-wave physics and astronomy: an introduction to theory, experiment and data analysis. Wiley–VCH, Weinheim.
[7] General relativity and gravitational waves. Cambridge University Press, Cambridge.
[8] W-modes: a new family of normal modes of pulsating relativistic stars. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 255 (1), pp. 119–128.
[9] Line profiles from a disk around a rotating black hole. The Astrophysical Journal 376, pp. 90–94.
[10] The black hole and the visualization of gravity in the film interstellar. Annalen der Physik 527 (1-2), pp. 5.
[11] Effects of kerr space-time on spectral features from x-ray illuminated accretion discs. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 312 (4), pp. 817–826.
[12] Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco.
[13] The science of interstellar. W. W. Norton & Company, New York.
[14] Hierarchical black hole mergers in active galactic nuclei. Phys. Rev. Lett. 123, pp. 181101.
Наука “Интерстеллара” – документальная книга американского теоретического физика и лауреата Нобелевской премии Кипа Торна, с предисловием Кристофера Нолана. Книга была впервые опубликована издательством W. W. Norton & Company. Это его вторая полноценная книга для неспециалистов после “Черные дыры и искажения времени”, выпущенной в 1994 году. “Наука “Интерстеллара”” – это сопутствующая книга к фильму Нолана 2014 года “Интерстеллар”, в главных ролях которого снялись Мэтью Макконахи, Энн Хэтэуэй и Джессика Честейн. Обзор. Кип Торн был научным консультантом и исполнительным продюсером фильма. В этой книге он объясняет научные концепции, стоящие за космологическими идеями фильма. Книга состоит из семи частей с предисловием Кристофера Нолана и одной дополнительной главы, обсуждающей создание “Интерстеллара”. Торн начинает с представления вводной информации о Вселенной, пространстве-времени, физических законах, относительности, приливных силах и черных дырах. Следующий раздел посвящен сверхмассивной черной дыре Гаргантюа, объясняя ее внешний вид и то, как она была создана с помощью компьютерной графики, а также гравитационные пращи и научно неточное утверждение персонажа в фильме. Торн затем переходит к Земле, обсуждая уничтожающую урожай чуму, разработку технологий межзвездных путешествий и еще одно научно неточное утверждение в фильме. Следующий раздел обсуждает червоточину, объясняя основы того, как работают червоточины, как червоточина “Интерстеллара” была визуализирована с помощью компьютерной графики, и метод, с помощью которого червоточина могла быть обнаружена во Вселенной “Интерстеллара” путем обнаружения гравитационных волн. Торн затем исследует формирование планет, вращающихся вокруг сверхмассивной черной дыры, и то, как планеты, изображенные в фильме, могли бы сформироваться в реальной жизни. Следующий раздел обсуждает некоторые более продвинутые и экстремальные физические явления, изображенные в фильме, включая большие дополнительные размерности, искажение гравитационной постоянной и различные типы сингулярностей внутри черной дыры, включая сингулярности BKL, массовую инфляцию и ударные сингулярности. Последняя часть обсуждает кульминацию фильма, включая погружение Купера в черную дюру Гаргантюа, сцену тессеракта и четырехмерное пространство, а также эвакуацию колоний людей с Земли.