Как фильм «Интерстеллар» использовал реальную физику для искривления времени и пространства. Действительно ли время замедлялось во время просмотра, или нас просто заворожил этот зрелищный фильм? Это был второй эпизод серии «Математика за кадром…», где мы исследовали математику и физику, лежащие в основе фильма Кристофера Нолана «Интерстеллар». Презентацию подготовили Пратиксит (первокурсник) и Тушар (второкурсник). Семинар был посвящен одному из самых научно амбициозных фильмов в истории кинематографа — фильму, в котором физика использовалась не просто как декорация, а как основа повествования.
Что делает «Интерстеллар» особенным: В отличие от большинства научно-фантастических фильмов, «Интерстеллар» сотрудничал с нобелевским лауреатом по физике Кипом Торном, который помог создать точные визуализации черных дыр и червоточин. Когда спустя годы было получено первое реальное изображение черной дыры, оно удивительно напоминало «Гаргантуя» из фильма. Посмотрите, как Пратиксит и Тушар раскрывают математику, лежащую в основе одного из самых визуально ошеломляющих фильмов, когда-либо созданных — от гигантских волн на планете Миллера до тайн высших измерений.
Math Society Topic Tutorial Series — Episode 2
«Интерстеллар» рассказывает историю Купера, бывшего пилота NASA, который отправляется через червоточину возле Сатурна, чтобы найти для человечества новый дом. Но то, что отличает этот фильм от типичной научной фантастики, — это его стремление к научной точности. Каждая захватывающая сцена — от искаженного пространства-времени возле черных дыр до замедления времени на водных мирах — основана на реальной физике.
Музыка: культовая музыка Ганса Циммера содержит тиканье с интервалом 1,25 секунды — каждое тиканье представляет собой один день, проходящий на Земле, пока экипаж находится на планете Миллера.
Время с момента выхода фильма: С момента премьеры «Интерстеллара» в 2014 году на планете Миллера прошло примерно 1 час 34 минуты (в то время как для нас — более десяти лет).
Научный консультант: Кип Торн не только консультировал, но и помог создать уравнения, благодаря которым «Гаргантуя» выглядит настолько реалистично, предоставив художникам по спецэффектам инструменты для визуализации того, как могла бы выглядеть настоящая черная дыра.
Одна из самых драматичных сцен фильма происходит на планете Миллера, где экипаж испытывает экстремальное замедление времени. На этом водном мире 1 час равен 7 годам на Земле. Планета также характеризуется огромными приливными волнами высотой 1,2 километра, вызванными гравитационным притяжением «Гаргантуи», сверхмассивной черной дыры, вокруг которой она вращается. Используя принципы физики, мы можем рассчитать, на каком расстоянии от «Гаргантуи» должна находиться планета Миллера, чтобы создать эти гигантские волны. Ответ? Примерно в 4,5 миллиарда километров от центра черной дыры.
Но вот что интересно: когда мы используем теории Эйнштейна для расчета того, насколько должно замедлиться время на таком расстоянии, математика показывает результат, отличающийся от того, что показано в фильме.
Что говорит фильм: 1 час на планете Миллера = 7 лет на Земле.
Что говорит математика: на расстоянии 4,5 миллиарда километров время замедлится всего на 5%.
Вердикт: Чтобы добиться драматической разницы во времени, показанной в фильме, планете Миллера пришлось бы находиться настолько близко к «Гаргантуе», что она была бы разорвана гравитацией — или уже находилась бы внутри черной дыры.
Здесь Кристофер Нолан и Кип Торн сознательно сделали выбор в пользу эмоционального воздействия, а не строгой точности. И, честно говоря, это работает. Напряжение от наблюдения за приближающимися волнами, в то время как знаешь, что на Земле проходят десятилетия, создает одну из самых тревожных сцен в истории кинематографа.
⋆ ✦ ⋆
Когда Купер падает в «Гаргантуя», происходит нечто чудесное: вместо того, чтобы быть уничтоженным, он оказывается в странном пятимерном пространстве — тессеракте, где он может видеть и взаимодействовать с разными моментами жизни своей дочери Мерф одновременно.
В реальности гравитационные силы вблизи черной дыры должны были разорвать его в процессе, который ученые называют «спагеттификацией». Так как же фильм объясняет его выживание?
Фильм использует идеи из передовой физики о высших измерениях. Концепция заключается в том, что наша вселенная может быть похожа на трехмерный лист («брана»), плавающий в пространстве с большим количеством измерений, которые мы обычно не воспринимаем. Когда Купер падает через «Гаргантуя», он входит в одно из этих высших измерений, где действуют другие правила. В этом пространстве расстояния могут быть сжаты — представьте себе длинный лист бумаги, скомканный в шар. Точки, которые были далеко друг от друга на плоском листе, теперь находятся близко друг к другу в трехмерном пространстве.
Эффект сжатия расстояния: В нашей обычной вселенной «Гаргантуя» и Земля находятся примерно в 10 миллиардах световых лет друг от друга. Но в высшем измерении, в которое входит Купер, это расстояние сжимается до примерно 150 миллионов километров — примерно расстояние от Земли до Солнца. Это сжатие примерно в 67 миллионов раз!
Пятимерный тессеракт позволяет Куперу видеть время как физическое измерение, по которому он может перемещаться, как мы ходим в пространстве. Он видит спальню Мерф как трехмерный объект, существующий во всех моментах времени, что позволяет ему одновременно достигать разных точек. Эта визуализация основана на реальных математических концепциях о том, как существа в высших измерениях воспринимали бы наше четырехмерное пространство-время (три пространственных измерения плюс время).
Хотя «Интерстеллар» многое делает правильно, даже Кип Торн признает, что для драматического эффекта были допущены некоторые вольности:
Даже при сжатом пространстве сообщения Купера Мерф, кажется, прибывают мгновенно. В реальности информация — даже гравитационные волны — не может распространяться быстрее скорости света. Фильм полностью не объясняет, как Купер обходит этот фундаментальный предел физики.
Хотя фильм апеллирует к высшим измерениям, чтобы объяснить выживание Купера, не существует установленной научной теории, объясняющей, почему вход в эти измерения предотвратил бы его уничтожение гравитационными силами черной дыры.
Итог: «Интерстеллар» доводит реальную физику до предела, а затем делает творческий скачок ради сюжета. Именно это делает его научно-фантастическим фильмом, а не документальным — и это нормально! Важно то, что он знакомит зрителей с реальными концепциями и вдохновляет на любопытство к вселенной.
1. Наука может быть захватывающей: «Интерстеллар» доказывает, что основание фильма на реальной физике не делает его менее захватывающим — оно делает его более впечатляющим. Визуализация «Гаргантуи» была настолько точной, что когда ученые получили первое реальное изображение черной дыры, оно удивительно напоминало изображение из фильма.
2. Математика описывает невозможное: Даже если мы не можем путешествовать через черные дыры, математика позволяет нам исследовать, что произойдет, если бы мы могли. Это сила теоретической физики — использование математики для понимания недостижимых физически областей.
3. Детали имеют значение: От тикающей музыки Циммера до точной визуализации гравитационного линзирования вокруг «Гаргантуи» — «Интерстеллар» показывает, что когда вы уделяете внимание мелким деталям, общий опыт становится трансцендентным.
4. Вдохновение через обучение: Как поделился Пратиксит, он изучил сложные физические концепции всего за одну неделю, чтобы подготовиться к этой презентации. Важно не овладеть всем, а готовность глубоко погружаться в сложные идеи, потому что вы увлечены пониманием.
«Я многому научился, готовясь к этому, и, уверен, скоро забуду часть этого, но важен сам опыт». — Пратиксит, первокурсник.
«Интерстеллар» напоминает нам, что математика — это не просто абстрактные числа — это язык для описания вселенной, от искривления света вокруг черных дыр до течения времени. Исследуя математику того, что мы любим, мы глубже ценим как искусство, так и реальность. И помните: если путешествие во времени когда-нибудь станет возможным, не забудьте сказать себе в прошлом посещать больше мероприятий Математического общества!
Физика в фильме «Интерстеллар» и ее астрофизические применения
Аннотация: Фильм «Интерстеллар» основан на реальных физических расчетах. Ключевым требованием в фильме является планета, вращающаяся вокруг сверхмассивной черной дыры таким образом, что один час на планете соответствует семи годам на Земле. Такое экстремальное замедление времени возможно только в том случае, если планета вращается вокруг черной дыры очень близко к ее горизонту. Для невращающейся (шварцшильдовской) черной дыры самая внутренняя стабильная круговая орбита (ISCO) находится в три раза больше шварцшильдовского радиуса; связанная орбита между ISCO и горизонтом событий невозможна. Удивительно, но общая теория относительности допускает существование таких орбит, если черная дыра вращается достаточно быстро. В этой работе мы представляем вычисления, которые сами по себе нетривиальны и интересны, но, что более важно, они могут иметь полезные астрофизические последствия.
PACS 04.80.Nn, 95.55.Ym, 07.60.Ly
I Введение
«Интерстеллар» — научно-фантастический фильм (2014) режиссера Кристофера Нолана. Нобелевский лауреат по физике Кип Торн был исполнительным продюсером и научным консультантом фильма. Хотя это научно-фантастический фильм, он основан на реальных расчетах в физике. «Интерстеллар» рассказывает о Джозефе Купере, бывшем пилоте NASA, перешедшем в фермеры, которого завербовали для последней миссии по спасению человечества от умирающей Земли. Вместе с небольшой командой — доктором Амелией Брэнд, доктором Ромилли, доктором Дойлом и роботами TARS и CASE — он путешествует через червоточину возле Сатурна, чтобы исследовать потенциально пригодные для жизни миры в другой галактике. Фильм представляет планету — планету Миллера — океанический мир, вращающийся чрезвычайно близко к сверхмассивной черной дыре «Гаргантуя», так что один час на планете соответствует семи годам на Земле — огромный фактор! Кратковременное пребывание экипажа на планете приводит к разрушительным временным последствиям, поскольку на Земле проходят десятилетия. Большой фактор замедления времени возникает из-за того, что орбита планеты находится очень близко к горизонту, что замедляет течение времени относительно далеких наблюдателей, как объясняет теория относительности Эйнштейна. На первый взгляд это кажется невозможным, потому что известно, что для невращающейся черной дыры самая внутренняя стабильная круговая орбита (ISCO) находится в три раза больше ее шварцшильдовского радиуса, что совсем не близко к горизонту и поэтому приведет к очень небольшому замедлению времени. Но, что удивительно, релятивистские расчеты показывают, что орбиты вблизи горизонта могут существовать, если черная дыра вращается достаточно быстро. Для необходимого замедления времени в 7 раз черная дыра должна вращаться очень быстро — почти до экстремального состояния Керра. «Гаргантуя» изображена как быстро вращающаяся (Керра) черная дыра, вращение которой позволяет стабильным орбитам необычно близко к ее горизонту событий. Изображение многих физических эффектов в фильме основано на реальных физических расчетах, что делает «Гаргантуя» одной из самых научно точных черных дыр, визуализированных в кино. Цель этой статьи — подробно воспроизвести расчеты Кипа Торна, которые, насколько нам известно, не были представлены в литературе. Эти расчеты сами по себе нетривиальны и поучительны, но здесь мы также утверждаем, что они могут иметь важное астрофизическое значение. Сначала мы покажем, что существуют стабильные круговые орбиты, скользящие по горизонту быстро вращающейся черной дыры, которые могут привести к большим факторам замедления времени. Здесь мы представляем подробные расчеты, включающие разложения в ряд. Мы сравниваем результаты, полученные с помощью разложения в ряд, с численно полученными результатами из точного уравнения. Далее мы указываем, как эти расчеты могут привести к интересным астрофизическим последствиям.
II Замедление времени
II.1 Прелиминария
Мы начинаем с основных уравнений, описывающих геодезические, подобные времени, в метрике Керра. Они наиболее часто записываются в координатах Бойера-Линдквиста, которые удобны для наших расчетов. Установив g = 1, метрика задается следующим образом:
где функции Δ и Σ определяются следующим образом:
где m — масса в единицах длины, а a — угловой момент черной дыры на единицу массы черной дыры и также имеет размерность длины. Чтобы получить фактические единицы углового момента, a необходимо умножить на коэффициент 2πm, где m — масса черной дыры. Для наших расчетов удобно использовать безразмерные единицы. Соответственно, мы определяем:
r = r/m и a = a/m.
Мы сохраняем наши вычисления базовыми; наша цель — вычислить круговые орбиты, подобные времени, в частности ISCO, тестовых частиц (планет) в экваториальной плоскости θ = π/2. Стационарность и осевая симметрия метрики Керра дают два первых интеграла уравнений геодезических: где верхний индекс обозначает производную по безразмерному собственному времени частицы. Здесь E — безразмерная энергия частицы на единицу массы, а L — безразмерный угловой момент частицы на единицу массы, в бесконечности; поскольку орбиты ограничены экваториальной плоскостью, постоянная Картера равна нулю. Инвертируя эти уравнения для r и φ, мы получаем:
Безразмерная версия g = 1 (мы обозначаем ее тем же символом без причины для путаницы). Требуемое замедление времени дается величиной γ = dt/dτ.
II.2 Уравнения для ISCO
Из метрики и первых интегралов мы получаем уравнение для dφ/dτ, или, эквивалентно, в экваториальной плоскости. Следуя Чандрасекару, мы устанавливаем dφ/dτ = 0. Это условие определяет только точки перегиба орбиты. Далее, записывая L = E/v, уравнение принимает вид:
Чтобы продолжить к нашей цели, мы устанавливаем v = 0. Это уравнение определяет только точки перегиба орбиты. Далее, записывая L = E/v, уравнение принимает вид:
Чтобы получить круговые орбиты, нам нужно, чтобы как dr/dτ, так и dφ/dτ были равны нулю. Это эквивалентно дифференцированию уравнения по τ и приравниванию его к нулю. Это дает:
Для получения ISCO нам нужно еще раз дифференцировать уравнение по τ. Это дает:
Из уравнений мы получаем следующее:
Таким образом, мы можем сразу решить для E и L для ISCO (если он существует) при dr/dτ = 0, и, следовательно, получаем:
Мы можем убедиться, что эти уравнения согласуются со стандартными результатами для шварцшильдовского случая a = 0. Тогда уравнение дает r = 6, что является стандартным результатом. Кроме того, соответствующее L из уравнения равно 0, что также является стандартным результатом. Однако нам нужны орбиты вблизи горизонта, чтобы получить большое замедление времени. Это возможно, как показывают наши расчеты, если черная дыра вращается достаточно быстро. Для требуемого замедления времени в 7 раз черная дыра должна вращаться очень быстро — почти до экстремального состояния Керра. «Гаргантуя» изображена как быстро вращающаяся (Керра) черная дыра, вращение которой позволяет стабильным орбитам необычно близко к ее горизонту событий. Цель этой статьи — воспроизвести расчеты Кипа Торна в деталях, которые, насколько нам известно, не были представлены в литературе. Эти расчеты сами по себе нетривиальны и поучительны, но здесь мы также утверждаем, что они могут иметь важное астрофизическое значение. Сначала мы покажем, что существуют стабильные круговые орбиты, скользящие по горизонту быстро вращающейся черной дыры, которые могут привести к большим факторам замедления времени. Здесь мы представляем подробные расчеты, включающие разложения в ряд. Мы сравниваем результаты, полученные с помощью разложения в ряд, с численно полученными результатами из точного уравнения. Далее мы указываем, как эти расчеты могут привести к интересным астрофизическим последствиям.
III За пределами «Интерстеллара»
Вычисления в разделе II имеют последствия для интересной астрофизики. Один из вопросов, который может возникнуть, заключается в том, не будет ли планета Миллера разорвана приливными силами черной дыры. Масса черной дыры «Гаргантуя» очень велика. Это означает, что непосредственно за горизонтом гравитационное поле довольно слабое, и приливные силы не очень сильные. Утверждается, что планета остается лишь немного нетронутой — предел Роша имеет тот же порядок величины, что и размер горизонта черной дыры (км).
III.1 Точность приближения разложения в ряд
Нам необходимо изучить, насколько точно приближение, сделанное в уравнении, является действительным. Для этого мы можем решить уравнение численно. Результаты показаны на верхнем графике рисунка 2. Из рисунка видно, что точный ISCO находится дальше от горизонта, чем то, что предполагает приближение разложения в ряд. При a = 0,99 разница в радиусах ISCO, вычисленных двумя методами, составляет менее 1%.
III.2 Красное смещение фотонов, испускаемых аккреционными дисками
Увлекательное астрофизическое применение — это аккреционные диски вокруг черных дыр. В «Интерстелларе» черная дыра находится очень близко к экстремальному состоянию Керра (a ≈ 0,99). Однако в обычных астрофизических сценариях a < 0,99. В этом разделе мы вычисляем красное смещение фотонов, испускаемых частицей на ISCO.
IV Заключение
В этой работе мы предоставили явные вычисления, касающиеся фактора замедления времени, который очень велик, как требуется в «Интерстелларе». Такие большие факторы замедления времени возможны только в том случае, если орбиты частиц (планет) могут существовать очень близко к горизонту событий черной дыры. Показано, что такие орбиты существуют, если черная дыра вращается достаточно быстро. В частности, для фактора замедления времени в 7 раз черная дыра должна вращаться очень быстро — почти до экстремального состояния Керра. Мы также сравнили приближение разложения в ряд с численно полученными результатами для радиуса ISCO. Кроме того, мы выполнили вычисления красного смещения фотонов, испускаемых частицей на ISCO. Что более важно, мы утверждаем, что эти вычисления могут иметь важное астрофизическое значение.
Хотя эта работа воспроизводит результаты, полученные в контексте фильма «Интерстеллар», ее применение может быть полезным в более широких областях астрофизики, особенно в тех, которые связаны с явлениями вблизи черных дыр. Например, излучение из аккреционного диска вокруг черных дыр может сильно краснеть вблизи горизонта. Профиль наблюдаемого излучения, а именно линии Fe (железа), поэтому становится сверткой распределения интенсивности и красного смещения (гравитационного и доплеровского) по аккреционному диску. Строгие, но сложные, численные расчеты таких профилей линий были предоставлены в литературе. Однако вычисления, представленные в нашей работе, могут предоставить более простой способ получения физических представлений, даже если они не очень точны. Другое применение может быть в контексте гравитационных волн, испускаемых компактными бинарными системами, вращающимися вокруг сверхмассивных черных дыр. Возможно, вокруг сверхмассивных черных дыр в центрах галактик существует более высокая концентрация гораздо более легких бинарных систем, которые спирально сближаются или сливаются. ГВ-сигнал от этих бинарных систем может сильно краснеть, когда они приближаются к горизонту, что сдвигает их частоты в более низкий частотный диапазон; например, от десятков Гц для бинарной системы звездной массы, наблюдаемой в полосе LIGO, до децигерцовой полосы или от децигерцовой полосы для бинарной системы промежуточной массы до полосы мГц, наблюдаемой LISA. Кроме того, различные моды, такие как w, p и f-моды, испускаемые нейтронными звездами в полосе кГц, будут краснеть в чувствительный диапазон текущих наземных детекторов ГВ. Хотя получение точной формы волны в таких ситуациях может быть очень сложным, наши вычисления, следовательно, предоставляют относительно простой способ предсказать, чего можно ожидать, и стоит ли проводить полное исследование.
V Благодарности
Эта работа основана частично на магистерской диссертации Харлин Дингры, представленной в колледже Св. Ксавьера, Мумбаи, Индия. СВД хотел бы поблагодарить Саджала Мукерджи за разъяснение вопроса. Авторы хотели бы поблагодарить Шубхаджеет Дас и Саяна Кара за ценные комментарии, которые помогли пересмотреть анализ ISCO.
VI Библиография
Ссылки
[1] (2015) Advanced ligo. Class. Quantum Grav. 32, pp. 074001. Внешние ссылки: Документ, цитируемый: §IV.
[2] (2017) Laser interferometer space antenna. ArXiv e-prints. Внешние ссылки: 1702.00786 Цитируется: §IV.
[3] (1998) Towards gravitational wave asteroseismology. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 299 (4), pp. 1059–1068. Внешние ссылки: ISSN 0035-8711, Документ, Ссылка, https://academic.oup.com/mnras/article-pdf/299/4/1059/3869494/299-4-1059.pdf Цитируется: §IV.
[4] (1998) The inner edge of the accretion disk around a supermassive black hole. Nature 391 (6665), pp. 54–56. Внешние ссылки: Документ, Ссылка Цитируется: §IV.
[5] (1983) The mathematical theory of black holes. Oxford University Press, Oxford. Внешние ссылки: ISBN 9780198512912, Ссылка Цитируется: §II.1, §II.2, §II.2.
[6] (2011) Gravitational-wave physics and astronomy: an introduction to theory, experiment and data analysis. Wiley–VCH, Weinheim. Внешние ссылки: ISBN 9783527411931, Ссылка Цитируется: §IV.
[7] (2022) General relativity and gravitational waves: essentials of theory and practice. UNITEXT for Physics, Springer International Publishing, Cham. Внешние ссылки: ISBN 978-3-030-92334-1, Ссылка, Документ Цитируется: §II.1.
[8] (1992) W-modes: a new family of normal modes of pulsating relativistic stars. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 255 (1), pp. 119–128. Внешние ссылки: ISSN 0035-8711, Документ, Ссылка, https://academic.oup.com/mnras/article-pdf/255/1/119/18523446/mnras255-0119.pdf Цитируется: §IV.
[9] (1991) Line profiles from a disk around a rotating black hole. The Astrophysical Journal 376, pp. 90–94. Внешние ссылки: Документ, Ссылка Цитируется: §IV.
[10] (2015) The black hole and the visualization of gravity in the film interstellar. Annalen der Physik 527 (1-2), pp. 5. Внешние ссылки: Документ Цитируется: §III.2, §III.
[11] (2000) Effects of kerr space-time on spectral features from x-ray illuminated accretion discs. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 312 (4), pp. 817–826. Внешние ссылки: Документ, Ссылка Цитируется: §IV.
[12] (1973) Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco. Внешние ссылки: ISBN 9780716703440 Цитируется: §II.1.
[13] (2014) The science of interstellar. W. W. Norton & Company, New York. Внешние ссылки: ISBN 9780393351378, Ссылка Цитируется: §I.
[14] (2019) Hierarchical black hole mergers in active galactic nuclei. Phys. Rev. Lett. 123, pp. 181101. Внешние ссылки: Документ, Ссылка Цитируется: §IV.